x^3-x^2+12=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3-x^2+12=0

Вы ввели

 3    2         
x  - x  + 12 = 0

$$x^{3} - x^{2} + 12 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} - x^{2} + 12 = 0$$
преобразуем
$$\left(- x^{2} + \left(1 x^{3} + 8\right)\right) + 4 = 0$$
или
$$\left(- x^{2} + \left(1 x^{3} - \left(-2\right)^{3}\right)\right) + \left(-2\right)^{2} = 0$$
$$- (x^{2} - \left(-2\right)^{2}) + 1 \left(x^{3} - \left(-2\right)^{3}\right) = 0$$
$$\left(x - 2\right) \left(- (x + 2)\right) + 1 \left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \left(-2\right)^{2}\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 2 + x за скобки
получим:
$$\left(x + 2\right) \left(- (x - 2) + 1 \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \left(-2\right)^{2}\right)\right) = 0$$
или
$$\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 3 x + 6\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = -2$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} - 3 x + 6 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = 6$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (6) = -15

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{2}$$
Упростить
$$x_{3} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (x^3 - x^2 + 12) + 0 = 0:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -2

$$x_{1} = -2$$

             ____
     3   I*\/ 15 
x2 = - - --------
     2      2    

$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{2}$$

             ____
     3   I*\/ 15 
x3 = - + --------
     2      2    

$$x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                ____           ____
        3   I*\/ 15    3   I*\/ 15 
0 - 2 + - - -------- + - + --------
        2      2       2      2    

$$\left(\left(-2 + 0\right) + \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

произведение

     /        ____\ /        ____\
     |3   I*\/ 15 | |3   I*\/ 15 |
1*-2*|- - --------|*|- + --------|
     \2      2    / \2      2    /

$$1 \left(-2\right) \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{2}\right) \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{2}\right)$$

=

-12

$$-12$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 12$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 12$$

Численный ответ

x1 = 1.5 - 1.93649167310371*i

x2 = -2.0

x3 = 1.5 + 1.93649167310371*i

График