x^3-x^2+7x-7=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3-x^2+7x-7=0

Вы ввели

 3    2              
x  - x  + 7*x - 7 = 0

$$x^{3} - x^{2} + 7 x - 7 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} - x^{2} + 7 x - 7 = 0$$
преобразуем
$$\left(7 x + \left(\left(- x^{2} + \left(1 x^{3} - 1\right)\right) + 1\right)\right) - 7 = 0$$
или
$$\left(7 x - \left(- x^{3} + x^{2} - 1 + 1\right)\right) + 1 \left(-7\right) = 0$$
$$7 \left(x - 1\right) - \left(x^{2} - \left(x^{3} - 1^{3}\right) - 1\right) = 0$$
$$7 \left(x - 1\right) + \left(- (x - 1) \left(x + 1\right) + 1 \left(x - 1\right) \left(\left(x^{2} + 1 x\right) + 1^{2}\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -1 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 1\right) \left(\left(- (x + 1) + 1 \left(\left(x^{2} + 1 x\right) + 1^{2}\right)\right) + 7\right) = 0$$
или
$$\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 7\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 1$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + 7 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 7$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (7) = -28

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = \sqrt{7} i$$
Упростить
$$x_{3} = - \sqrt{7} i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (x^3 - x^2 + 7*x - 1*7) + 0 = 0:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \sqrt{7} i$$
$$x_{3} = - \sqrt{7} i$$

Быстрый ответ

x1 = 1

$$x_{1} = 1$$

          ___
x2 = -I*\/ 7 

$$x_{2} = - \sqrt{7} i$$

         ___
x3 = I*\/ 7 

$$x_{3} = \sqrt{7} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ___       ___
0 + 1 - I*\/ 7  + I*\/ 7 

$$\left(\left(0 + 1\right) - \sqrt{7} i\right) + \sqrt{7} i$$

=

1

$$1$$

произведение

         ___     ___
1*1*-I*\/ 7 *I*\/ 7 

$$1 \cdot 1 \left(- \sqrt{7} i\right) \sqrt{7} i$$

=

7

$$7$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 7$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -7$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 7$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -7$$

Численный ответ

x1 = 1.0

x2 = -2.64575131106459*i

x3 = 2.64575131106459*i

График