x^3+i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+i=0

Вы ввели

 3        
x  + I = 0

$$x^{3} + i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} + i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{- i}$$
или
$$x = \sqrt[3]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -i^1/3

Получим ответ: x = (-i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = - i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = i$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = I

$$x_{1} = i$$

             ___
       I   \/ 3 
x2 = - - - -----
       2     2  

$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$

       ___    
     \/ 3    I
x3 = ----- - -
       2     2

$$x_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$

Численный ответ

x1 = 1.0*i

x2 = -0.866025403784439 - 0.5*i

x3 = 0.866025403784439 - 0.5*i