x^3=2x+1 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=2x+1

Вы ввели

 3          
x  = 2*x + 1

$$x^{3} = 2 x + 1$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} = 2 x + 1$$
преобразуем
$$\left(- 2 x + \left(x^{3} + 1\right)\right) - 2 = 0$$
или
$$\left(- 2 x + \left(x^{3} - \left(-1\right)^{3}\right)\right) - 2 = 0$$
$$- 2 \left(x + 1\right) + \left(x^{3} - \left(-1\right)^{3}\right) = 0$$
$$\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right) - 2 \left(x + 1\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 1 + x за скобки
получим:
$$\left(x + 1\right) \left(\left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right) - 2\right) = 0$$
или
$$\left(x + 1\right) \left(x^{2} - x - 1\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = -1$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} - x - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Получаем окончательный ответ для x^3 - 2*x - 1 = 0:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -1

$$x_{1} = -1$$

           ___
     1   \/ 5 
x2 = - - -----
     2     2  

$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$

           ___
     1   \/ 5 
x3 = - + -----
     2     2  

$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Численный ответ

x1 = 1.61803398874989

x2 = -0.618033988749895

x3 = -1.0

График