x^3=1/125 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=1/125

Вы ввели

 3        
x  = 1/125

$$x^{3} = \frac{1}{125}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = \frac{1}{125}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{125}}$$
или
$$x = \frac{1}{5}$$
Получим ответ: x = 1/5

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = \frac{1}{125}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{125}$$
где
$$r = \frac{1}{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{1}{5}$$
$$z_{2} = - \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{3} i}{10}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{3} i}{10}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{5}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{3} i}{10}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{3} i}{10}$$

Быстрый ответ

x1 = 1/5

$$x_{1} = \frac{1}{5}$$

                ___
       1    I*\/ 3 
x2 = - -- - -------
       10      10  

$$x_{2} = - \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{3} i}{10}$$

                ___
       1    I*\/ 3 
x3 = - -- + -------
       10      10  

$$x_{3} = - \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{3} i}{10}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                     ___              ___
            1    I*\/ 3      1    I*\/ 3 
0 + 1/5 + - -- - ------- + - -- + -------
            10      10       10      10  

$$\left(\left(0 + \frac{1}{5}\right) - \left(\frac{1}{10} + \frac{\sqrt{3} i}{10}\right)\right) - \left(\frac{1}{10} - \frac{\sqrt{3} i}{10}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

      /           ___\ /           ___\
      |  1    I*\/ 3 | |  1    I*\/ 3 |
1*1/5*|- -- - -------|*|- -- + -------|
      \  10      10  / \  10      10  /

$$1 \cdot \frac{1}{5} \left(- \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{3} i}{10}\right) \left(- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{3} i}{10}\right)$$

=

1/125

$$\frac{1}{125}$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1}{125}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{1}{125}$$

Численный ответ

x1 = 0.2

x2 = -0.1 + 0.173205080756888*i

x3 = -0.1 - 0.173205080756888*i

График