x^8=5 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^8=5

Вы ввели

 8    
x  = 5

$$x^{8} = 5$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{8} = 5$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 8-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[8]{x^{8}} = \sqrt[8]{5}$$
$$\sqrt[8]{x^{8}} = \left(-1\right) \sqrt[8]{5}$$
или
$$x = \sqrt[8]{5}$$
$$x = - \sqrt[8]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^1/8

Получим ответ: x = 5^(1/8)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -5^1/8

Получим ответ: x = -5^(1/8)
или
$$x_{1} = - \sqrt[8]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[8]{5}$$

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{8} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = 5$$
где
$$r = \sqrt[8]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[8]{5}$$
$$z_{2} = \sqrt[8]{5}$$
$$z_{3} = - \sqrt[8]{5} i$$
$$z_{4} = \sqrt[8]{5} i$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}$$
$$z_{7} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}$$
$$z_{8} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[8]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[8]{5}$$
$$x_{3} = - \sqrt[8]{5} i$$
$$x_{4} = \sqrt[8]{5} i$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}$$
$$x_{7} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}$$
$$x_{8} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}$$

Быстрый ответ

      8 ___
x1 = -\/ 5 

$$x_{1} = - \sqrt[8]{5}$$

     8 ___
x2 = \/ 5 

$$x_{2} = \sqrt[8]{5}$$

        8 ___
x3 = -I*\/ 5 

$$x_{3} = - \sqrt[8]{5} i$$

       8 ___
x4 = I*\/ 5 

$$x_{4} = \sqrt[8]{5} i$$

         ___ 8 ___       ___ 8 ___
       \/ 2 *\/ 5    I*\/ 2 *\/ 5 
x5 = - ----------- - -------------
            2              2      

$$x_{5} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}$$

         ___ 8 ___       ___ 8 ___
       \/ 2 *\/ 5    I*\/ 2 *\/ 5 
x6 = - ----------- + -------------
            2              2      

$$x_{6} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}$$

       ___ 8 ___       ___ 8 ___
     \/ 2 *\/ 5    I*\/ 2 *\/ 5 
x7 = ----------- - -------------
          2              2      

$$x_{7} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}$$

       ___ 8 ___       ___ 8 ___
     \/ 2 *\/ 5    I*\/ 2 *\/ 5 
x8 = ----------- + -------------
          2              2      

$$x_{8} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                          ___ 8 ___       ___ 8 ___       ___ 8 ___       ___ 8 ___     ___ 8 ___       ___ 8 ___     ___ 8 ___       ___ 8 ___
  8 ___   8 ___     8 ___     8 ___     \/ 2 *\/ 5    I*\/ 2 *\/ 5      \/ 2 *\/ 5    I*\/ 2 *\/ 5    \/ 2 *\/ 5    I*\/ 2 *\/ 5    \/ 2 *\/ 5    I*\/ 2 *\/ 5 
- \/ 5  + \/ 5  - I*\/ 5  + I*\/ 5  + - ----------- - ------------- + - ----------- + ------------- + ----------- - ------------- + ----------- + -------------
                                             2              2                2              2              2              2              2              2      

$$\left(\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \sqrt[8]{5} + \sqrt[8]{5}\right) - \sqrt[8]{5} i\right) + \sqrt[8]{5} i\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                                /    ___ 8 ___       ___ 8 ___\ /    ___ 8 ___       ___ 8 ___\ /  ___ 8 ___       ___ 8 ___\ /  ___ 8 ___       ___ 8 ___\
 8 ___ 8 ___ /   8 ___\   8 ___ |  \/ 2 *\/ 5    I*\/ 2 *\/ 5 | |  \/ 2 *\/ 5    I*\/ 2 *\/ 5 | |\/ 2 *\/ 5    I*\/ 2 *\/ 5 | |\/ 2 *\/ 5    I*\/ 2 *\/ 5 |
-\/ 5 *\/ 5 *\-I*\/ 5 /*I*\/ 5 *|- ----------- - -------------|*|- ----------- + -------------|*|----------- - -------------|*|----------- + -------------|
                                \       2              2      / \       2              2      / \     2              2      / \     2              2      /

$$\sqrt[8]{5} i - \sqrt[8]{5} \sqrt[8]{5} \left(- \sqrt[8]{5} i\right) \left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[8]{5} i}{2}\right)$$

=

-5

$$-5$$

Численный ответ

x1 = 1.22284454499385

x2 = -0.864681670102131 - 0.864681670102131*i

x3 = 0.864681670102131 - 0.864681670102131*i

x4 = -1.22284454499385*i

x5 = -1.22284454499385

x6 = 1.22284454499385*i

x7 = -0.864681670102131 + 0.864681670102131*i

x8 = 0.864681670102131 + 0.864681670102131*i

График