x^8=3 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^8=3

    Решение

    Вы ввели [src]
     8    
    x  = 3
    x8=3x^{8} = 3
    Подробное решение
    Дано уравнение
    x8=3x^{8} = 3
    Т.к. степень в ур-нии равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 8-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    (1x+0)88=38\sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = \sqrt[8]{3}
    (1x+0)88=38\sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = - \sqrt[8]{3}
    или
    x=38x = \sqrt[8]{3}
    x=38x = - \sqrt[8]{3}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 3^1/8

    Получим ответ: x = 3^(1/8)
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -3^1/8

    Получим ответ: x = -3^(1/8)
    или
    x1=38x_{1} = - \sqrt[8]{3}
    x2=38x_{2} = \sqrt[8]{3}

    Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z8=3z^{8} = 3
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r8e8ip=3r^{8} e^{8 i p} = 3
    где
    r=38r = \sqrt[8]{3}
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e8ip=1e^{8 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(8p)+cos(8p)=1i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1
    значит
    cos(8p)=1\cos{\left(8 p \right)} = 1
    и
    sin(8p)=0\sin{\left(8 p \right)} = 0
    тогда
    p=πN4p = \frac{\pi N}{4}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=38z_{1} = - \sqrt[8]{3}
    z2=38z_{2} = \sqrt[8]{3}
    z3=38iz_{3} = - \sqrt[8]{3} i
    z4=38iz_{4} = \sqrt[8]{3} i
    z5=2382238i2z_{5} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}
    z6=2382+238i2z_{6} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}
    z7=2382238i2z_{7} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}
    z8=2382+238i2z_{8} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=38x_{1} = - \sqrt[8]{3}
    x2=38x_{2} = \sqrt[8]{3}
    x3=38ix_{3} = - \sqrt[8]{3} i
    x4=38ix_{4} = \sqrt[8]{3} i
    x5=2382238i2x_{5} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}
    x6=2382+238i2x_{6} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}
    x7=2382238i2x_{7} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}
    x8=2382+238i2x_{8} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}
    График
    05-15-10-510150250000000
    Быстрый ответ [src]
          8 ___
    x1 = -\/ 3 
    x1=38x_{1} = - \sqrt[8]{3}
         8 ___
    x2 = \/ 3 
    x2=38x_{2} = \sqrt[8]{3}
            8 ___
    x3 = -I*\/ 3 
    x3=38ix_{3} = - \sqrt[8]{3} i
           8 ___
    x4 = I*\/ 3 
    x4=38ix_{4} = \sqrt[8]{3} i
             ___ 8 ___       ___ 8 ___
           \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 
    x5 = - ----------- - -------------
                2              2      
    x5=2382238i2x_{5} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}
             ___ 8 ___       ___ 8 ___
           \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 
    x6 = - ----------- + -------------
                2              2      
    x6=2382+238i2x_{6} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}
           ___ 8 ___       ___ 8 ___
         \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 
    x7 = ----------- - -------------
              2              2      
    x7=2382238i2x_{7} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}
           ___ 8 ___       ___ 8 ___
         \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 
    x8 = ----------- + -------------
              2              2      
    x8=2382+238i2x_{8} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                                                ___ 8 ___       ___ 8 ___       ___ 8 ___       ___ 8 ___     ___ 8 ___       ___ 8 ___     ___ 8 ___       ___ 8 ___
        8 ___   8 ___     8 ___     8 ___     \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3      \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3    \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3    \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 
    0 - \/ 3  + \/ 3  - I*\/ 3  + I*\/ 3  + - ----------- - ------------- + - ----------- + ------------- + ----------- - ------------- + ----------- + -------------
                                                   2              2                2              2              2              2              2              2      
    ((2382238i2)+(((2382238i2)+((((38+0)+38)38i)+38i))(2382238i2)))+(2382+238i2)\left(\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(- \sqrt[8]{3} + 0\right) + \sqrt[8]{3}\right) - \sqrt[8]{3} i\right) + \sqrt[8]{3} i\right)\right) - \left(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right)
    =
    0
    00
    произведение
                                    /    ___ 8 ___       ___ 8 ___\ /    ___ 8 ___       ___ 8 ___\ /  ___ 8 ___       ___ 8 ___\ /  ___ 8 ___       ___ 8 ___\
       8 ___ 8 ___    8 ___   8 ___ |  \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 | |  \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 | |\/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 | |\/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 |
    1*-\/ 3 *\/ 3 *-I*\/ 3 *I*\/ 3 *|- ----------- - -------------|*|- ----------- + -------------|*|----------- - -------------|*|----------- + -------------|
                                    \       2              2      / \       2              2      / \     2              2      / \     2              2      /
    38i38i381(38)(2382238i2)(2382+238i2)(2382238i2)(2382+238i2)\sqrt[8]{3} i - \sqrt[8]{3} i \sqrt[8]{3} \cdot 1 \left(- \sqrt[8]{3}\right) \left(- \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right)
    =
    -3
    3-3
    Численный ответ [src]
    x1 = 0.811194801805489 - 0.811194801805489*i
    x2 = 1.14720269043988
    x3 = -1.14720269043988*i
    x4 = 1.14720269043988*i
    x5 = 0.811194801805489 + 0.811194801805489*i
    x6 = -1.14720269043988
    x7 = -0.811194801805489 - 0.811194801805489*i
    x8 = -0.811194801805489 + 0.811194801805489*i
    График
    x^8=3 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/2/02/d057f67ad176a824f5572b17fcac5.png