x^8=3 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^8=3
Решение
Подробное решение
Дано уравнениеx 8 = 3 x^{8} = 3 x 8 = 3 Т.к. степень в ур-нии равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то ур-ние будет иметь два действительных корня. Извлечём корень 8-й степени из обеих частей ур-ния: Получим:( 1 x + 0 ) 8 8 = 3 8 \sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = \sqrt[8]{3} 8 ( 1 x + 0 ) 8 = 8 3 ( 1 x + 0 ) 8 8 = − 3 8 \sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = - \sqrt[8]{3} 8 ( 1 x + 0 ) 8 = − 8 3 илиx = 3 8 x = \sqrt[8]{3} x = 8 3 x = − 3 8 x = - \sqrt[8]{3} x = − 8 3 Раскрываем скобочки в правой части ур-нияx = 3^1/8 Получим ответ: x = 3^(1/8) Раскрываем скобочки в правой части ур-нияx = -3^1/8 Получим ответ: x = -3^(1/8) илиx 1 = − 3 8 x_{1} = - \sqrt[8]{3} x 1 = − 8 3 x 2 = 3 8 x_{2} = \sqrt[8]{3} x 2 = 8 3 Остальные 6 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену:z = x z = x z = x тогда ур-ние будет таким:z 8 = 3 z^{8} = 3 z 8 = 3 Любое комплексное число можно представить так:z = r e i p z = r e^{i p} z = r e i p подставляем в уравнениеr 8 e 8 i p = 3 r^{8} e^{8 i p} = 3 r 8 e 8 i p = 3 гдеr = 3 8 r = \sqrt[8]{3} r = 8 3 - модуль комплексного числа Подставляем r:e 8 i p = 1 e^{8 i p} = 1 e 8 i p = 1 Используя формулу Эйлера, найдём корни для pi sin ( 8 p ) + cos ( 8 p ) = 1 i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1 i sin ( 8 p ) + cos ( 8 p ) = 1 значитcos ( 8 p ) = 1 \cos{\left(8 p \right)} = 1 cos ( 8 p ) = 1 иsin ( 8 p ) = 0 \sin{\left(8 p \right)} = 0 sin ( 8 p ) = 0 тогдаp = π N 4 p = \frac{\pi N}{4} p = 4 π N где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для z Значит, решением будет для z:z 1 = − 3 8 z_{1} = - \sqrt[8]{3} z 1 = − 8 3 z 2 = 3 8 z_{2} = \sqrt[8]{3} z 2 = 8 3 z 3 = − 3 8 i z_{3} = - \sqrt[8]{3} i z 3 = − 8 3 i z 4 = 3 8 i z_{4} = \sqrt[8]{3} i z 4 = 8 3 i z 5 = − 2 ⋅ 3 8 2 − 2 ⋅ 3 8 i 2 z_{5} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2} z 5 = − 2 2 ⋅ 8 3 − 2 2 ⋅ 8 3 i z 6 = − 2 ⋅ 3 8 2 + 2 ⋅ 3 8 i 2 z_{6} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2} z 6 = − 2 2 ⋅ 8 3 + 2 2 ⋅ 8 3 i z 7 = 2 ⋅ 3 8 2 − 2 ⋅ 3 8 i 2 z_{7} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2} z 7 = 2 2 ⋅ 8 3 − 2 2 ⋅ 8 3 i z 8 = 2 ⋅ 3 8 2 + 2 ⋅ 3 8 i 2 z_{8} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2} z 8 = 2 2 ⋅ 8 3 + 2 2 ⋅ 8 3 i делаем обратную заменуz = x z = x z = x x = z x = z x = z Тогда, окончательный ответ:x 1 = − 3 8 x_{1} = - \sqrt[8]{3} x 1 = − 8 3 x 2 = 3 8 x_{2} = \sqrt[8]{3} x 2 = 8 3 x 3 = − 3 8 i x_{3} = - \sqrt[8]{3} i x 3 = − 8 3 i x 4 = 3 8 i x_{4} = \sqrt[8]{3} i x 4 = 8 3 i x 5 = − 2 ⋅ 3 8 2 − 2 ⋅ 3 8 i 2 x_{5} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2} x 5 = − 2 2 ⋅ 8 3 − 2 2 ⋅ 8 3 i x 6 = − 2 ⋅ 3 8 2 + 2 ⋅ 3 8 i 2 x_{6} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2} x 6 = − 2 2 ⋅ 8 3 + 2 2 ⋅ 8 3 i x 7 = 2 ⋅ 3 8 2 − 2 ⋅ 3 8 i 2 x_{7} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2} x 7 = 2 2 ⋅ 8 3 − 2 2 ⋅ 8 3 i x 8 = 2 ⋅ 3 8 2 + 2 ⋅ 3 8 i 2 x_{8} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2} x 8 = 2 2 ⋅ 8 3 + 2 2 ⋅ 8 3 i x 1 = − 3 8 x_{1} = - \sqrt[8]{3} x 1 = − 8 3 x 2 = 3 8 x_{2} = \sqrt[8]{3} x 2 = 8 3 x 3 = − 3 8 i x_{3} = - \sqrt[8]{3} i x 3 = − 8 3 i x 4 = 3 8 i x_{4} = \sqrt[8]{3} i x 4 = 8 3 i ___ 8 ___ ___ 8 ___
\/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 *\/ 3
x5 = - ----------- - -------------
2 2 x 5 = − 2 ⋅ 3 8 2 − 2 ⋅ 3 8 i 2 x_{5} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2} x 5 = − 2 2 ⋅ 8 3 − 2 2 ⋅ 8 3 i ___ 8 ___ ___ 8 ___
\/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 *\/ 3
x6 = - ----------- + -------------
2 2 x 6 = − 2 ⋅ 3 8 2 + 2 ⋅ 3 8 i 2 x_{6} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2} x 6 = − 2 2 ⋅ 8 3 + 2 2 ⋅ 8 3 i ___ 8 ___ ___ 8 ___
\/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 *\/ 3
x7 = ----------- - -------------
2 2 x 7 = 2 ⋅ 3 8 2 − 2 ⋅ 3 8 i 2 x_{7} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2} x 7 = 2 2 ⋅ 8 3 − 2 2 ⋅ 8 3 i ___ 8 ___ ___ 8 ___
\/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 *\/ 3
x8 = ----------- + -------------
2 2 x 8 = 2 ⋅ 3 8 2 + 2 ⋅ 3 8 i 2 x_{8} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2} x 8 = 2 2 ⋅ 8 3 + 2 2 ⋅ 8 3 i
Сумма и произведение корней
[src] ___ 8 ___ ___ 8 ___ ___ 8 ___ ___ 8 ___ ___ 8 ___ ___ 8 ___ ___ 8 ___ ___ 8 ___
8 ___ 8 ___ 8 ___ 8 ___ \/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 *\/ 3 \/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 *\/ 3 \/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 *\/ 3 \/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 *\/ 3
0 - \/ 3 + \/ 3 - I*\/ 3 + I*\/ 3 + - ----------- - ------------- + - ----------- + ------------- + ----------- - ------------- + ----------- + -------------
2 2 2 2 2 2 2 2 ( ( 2 ⋅ 3 8 2 − 2 ⋅ 3 8 i 2 ) + ( ( ( − 2 ⋅ 3 8 2 − 2 ⋅ 3 8 i 2 ) + ( ( ( ( − 3 8 + 0 ) + 3 8 ) − 3 8 i ) + 3 8 i ) ) − ( 2 ⋅ 3 8 2 − 2 ⋅ 3 8 i 2 ) ) ) + ( 2 ⋅ 3 8 2 + 2 ⋅ 3 8 i 2 ) \left(\left(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(- \sqrt[8]{3} + 0\right) + \sqrt[8]{3}\right) - \sqrt[8]{3} i\right) + \sqrt[8]{3} i\right)\right) - \left(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right) ( ( 2 2 ⋅ 8 3 − 2 2 ⋅ 8 3 i ) + ( ( ( − 2 2 ⋅ 8 3 − 2 2 ⋅ 8 3 i ) + ( ( ( ( − 8 3 + 0 ) + 8 3 ) − 8 3 i ) + 8 3 i ) ) − ( 2 2 ⋅ 8 3 − 2 2 ⋅ 8 3 i ) ) ) + ( 2 2 ⋅ 8 3 + 2 2 ⋅ 8 3 i ) / ___ 8 ___ ___ 8 ___\ / ___ 8 ___ ___ 8 ___\ / ___ 8 ___ ___ 8 ___\ / ___ 8 ___ ___ 8 ___\
8 ___ 8 ___ 8 ___ 8 ___ | \/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 *\/ 3 | | \/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 *\/ 3 | |\/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 *\/ 3 | |\/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 *\/ 3 |
1*-\/ 3 *\/ 3 *-I*\/ 3 *I*\/ 3 *|- ----------- - -------------|*|- ----------- + -------------|*|----------- - -------------|*|----------- + -------------|
\ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / 3 8 i − 3 8 i 3 8 ⋅ 1 ( − 3 8 ) ( − 2 ⋅ 3 8 2 − 2 ⋅ 3 8 i 2 ) ( − 2 ⋅ 3 8 2 + 2 ⋅ 3 8 i 2 ) ( 2 ⋅ 3 8 2 − 2 ⋅ 3 8 i 2 ) ( 2 ⋅ 3 8 2 + 2 ⋅ 3 8 i 2 ) \sqrt[8]{3} i - \sqrt[8]{3} i \sqrt[8]{3} \cdot 1 \left(- \sqrt[8]{3}\right) \left(- \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i}{2}\right) 8 3 i − 8 3 i 8 3 ⋅ 1 ( − 8 3 ) ( − 2 2 ⋅ 8 3 − 2 2 ⋅ 8 3 i ) ( − 2 2 ⋅ 8 3 + 2 2 ⋅ 8 3 i ) ( 2 2 ⋅ 8 3 − 2 2 ⋅ 8 3 i ) ( 2 2 ⋅ 8 3 + 2 2 ⋅ 8 3 i ) x1 = 0.811194801805489 - 0.811194801805489*i x5 = 0.811194801805489 + 0.811194801805489*i x7 = -0.811194801805489 - 0.811194801805489*i x8 = -0.811194801805489 + 0.811194801805489*i