x[x[x[x[x]]]]=122 (уравнение)

Найду корень уравнения: x[x[x[x[x]]]]=122

Вы ввели

x*x*x*x*x = 122

$$x x x x x = 122$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x x x x x = 122$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{122}$$
или
$$x = \sqrt[5]{122}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 122^1/5

Получим ответ: x = 122^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 122$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 122$$
где
$$r = \sqrt[5]{122}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[5]{122}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[5]{122}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Быстрый ответ

     5 _____
x1 = \/ 122 

$$x_{1} = \sqrt[5]{122}$$

                                                ___________
       5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ 
       \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  
x2 = - ------- + ------------- - I*\/ 122 *  /   - + ----- 
          4            4                   \/    8     8   

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                                ___________
       5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ 
       \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  
x3 = - ------- + ------------- + I*\/ 122 *  /   - + ----- 
          4            4                   \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                                ___________
       5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ 
       \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  
x4 = - ------- - ------------- - I*\/ 122 *  /   - - ----- 
          4            4                   \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                                ___________
       5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ 
       \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  
x5 = - ------- - ------------- + I*\/ 122 *  /   - - ----- 
          4            4                   \/    8     8   

$$x_{5} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                     ___________                                              ___________                                              ___________                                              ___________
            5 _____     ___ 5 _____                 /       ___      5 _____     ___ 5 _____                 /       ___      5 _____     ___ 5 _____                 /       ___      5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ 
5 _____     \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5       \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5       \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5       \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  
\/ 122  + - ------- + ------------- - I*\/ 122 *  /   - + -----  + - ------- + ------------- + I*\/ 122 *  /   - + -----  + - ------- - ------------- - I*\/ 122 *  /   - - -----  + - ------- - ------------- + I*\/ 122 *  /   - - ----- 
               4            4                   \/    8     8           4            4                   \/    8     8           4            4                   \/    8     8           4            4                   \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(\sqrt[5]{122} + \left(- \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

        /                                           ___________\ /                                           ___________\ /                                           ___________\ /                                           ___________\
        |  5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ | |  5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ | |  5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ | |  5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ |
5 _____ |  \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  | |  \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  | |  \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  | |  \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  |
\/ 122 *|- ------- + ------------- - I*\/ 122 *  /   - + ----- |*|- ------- + ------------- + I*\/ 122 *  /   - + ----- |*|- ------- - ------------- - I*\/ 122 *  /   - - ----- |*|- ------- - ------------- + I*\/ 122 *  /   - - ----- |
        \     4            4                   \/    8     8   / \     4            4                   \/    8     8   / \     4            4                   \/    8     8   / \     4            4                   \/    8     8   /

$$\sqrt[5]{122} \left(- \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

122

$$122$$

Численный ответ

x1 = 2.61379766787943

x2 = -2.11460673317206 - 1.53635172165599*i

x3 = 0.807707899232347 - 2.4858693043138*i

x4 = 0.807707899232347 + 2.4858693043138*i

x5 = -2.11460673317206 + 1.53635172165599*i

График