(z+i)^2=z (уравнение)

Найду корень уравнения: (z+i)^2=z

Вы ввели

       2    
(z + I)  = z

$$\left(z + i\right)^{2} = z$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(z + i\right)^{2} = z$$
в
$$- z + \left(z + i\right)^{2} = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$- z + \left(z + i\right)^{2} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$z^{2} - z + 2 i z - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1 + 2 i$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1 + 2*i)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4 + (-1 + 2*i)^2

Уравнение имеет два корня.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = \frac{1}{2} - i + \frac{\sqrt{4 + \left(-1 + 2 i\right)^{2}}}{2}$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} - i - \frac{\sqrt{4 + \left(-1 + 2 i\right)^{2}}}{2}$$

Быстрый ответ

           /     4 ____    /atan(4)\\   4 ____    /atan(4)\
           |     \/ 17 *sin|-------||   \/ 17 *cos|-------|
     1     |               \   2   /|             \   2   /
z1 = - + I*|-1 + -------------------| - -------------------
     2     \              2         /            2         

$$z_{1} = - \frac{\sqrt[4]{17} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2} + i \left(-1 + \frac{\sqrt[4]{17} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{2} \right)}}{2}\right)$$

           /     4 ____    /atan(4)\\   4 ____    /atan(4)\
           |     \/ 17 *sin|-------||   \/ 17 *cos|-------|
     1     |               \   2   /|             \   2   /
z2 = - + I*|-1 - -------------------| + -------------------
     2     \              2         /            2         

$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt[4]{17} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{2} \right)}}{2} + i \left(-1 - \frac{\sqrt[4]{17} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{2} \right)}}{2}\right)$$

Численный ответ

z1 = 1.30024259022012 - 1.62481053384383*i

z2 = -0.30024259022012 - 0.375189466156173*i