z^4-i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4-i=0

Вы ввели

 4        
z  - I = 0

$$z^{4} - i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} - i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = i комплексное,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$w_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Быстрый ответ

            ___________          ___________
           /       ___          /       ___ 
          /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
z1 = -   /   - - -----  + I*  /   - + ----- 
       \/    2     4        \/    2     4   

$$z_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

          ___________          ___________
         /       ___          /       ___ 
        /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
z2 =   /   - - -----  - I*  /   - + ----- 
     \/    2     4        \/    2     4   

$$z_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

            ___________          ___________
           /       ___          /       ___ 
          /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
z3 = -   /   - + -----  - I*  /   - - ----- 
       \/    2     4        \/    2     4   

$$z_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

          ___________          ___________
         /       ___          /       ___ 
        /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
z4 =   /   - + -----  + I*  /   - - ----- 
     \/    2     4        \/    2     4   

$$z_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

       ___________          ___________        ___________          ___________          ___________          ___________        ___________          ___________
      /       ___          /       ___        /       ___          /       ___          /       ___          /       ___        /       ___          /       ___ 
     /  1   \/ 2          /  1   \/ 2        /  1   \/ 2          /  1   \/ 2          /  1   \/ 2          /  1   \/ 2        /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
-   /   - - -----  + I*  /   - + -----  +   /   - - -----  - I*  /   - + -----  + -   /   - + -----  - I*  /   - - -----  +   /   - + -----  + I*  /   - - ----- 
  \/    2     4        \/    2     4      \/    2     4        \/    2     4        \/    2     4        \/    2     4      \/    2     4        \/    2     4   

$$\left(\left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) + \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) + \left(- \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right) + \left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

/       ___________          ___________\ /     ___________          ___________\ /       ___________          ___________\ /     ___________          ___________\
|      /       ___          /       ___ | |    /       ___          /       ___ | |      /       ___          /       ___ | |    /       ___          /       ___ |
|     /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  | |   /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  | |     /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  | |   /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  |
|-   /   - - -----  + I*  /   - + ----- |*|  /   - - -----  - I*  /   - + ----- |*|-   /   - + -----  - I*  /   - - ----- |*|  /   - + -----  + I*  /   - - ----- |
\  \/    2     4        \/    2     4   / \\/    2     4        \/    2     4   / \  \/    2     4        \/    2     4   / \\/    2     4        \/    2     4   /

$$\left(- \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) \left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$

=

-I

$$- i$$

Численный ответ

z1 = 0.38268343236509 - 0.923879532511287*i

z2 = -0.923879532511287 - 0.38268343236509*i

z3 = 0.923879532511287 + 0.38268343236509*i

z4 = -0.38268343236509 + 0.923879532511287*i