z^5+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^5+1=0

Вы ввели

 5        
z  + 1 = 0

$$z^{5} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{5} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{-1}$$
или
$$z = \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -1^1/5

Получим ответ: z = (-1)^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{5} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$w_{4} = \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$w_{5} = - \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{4} = \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$z_{5} = - \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$

Быстрый ответ

z1 = -1

$$z_{1} = -1$$

                   /       ___________              ___________\
                   |      /       ___              /       ___ |
                   |     /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |
           ___     |    /   - - -----    \/ 5 *  /   - - ----- |
     1   \/ 5      |  \/    8     8            \/    8     8   |
z2 = - - ----- + I*|- ---------------- - ----------------------|
     4     4       \         2                     2           /

$$z_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)$$

           /       ___________        ___________              ___________              ___________\                                    
           |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                    
           |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |        ___________      ___________
           |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - + -----    \/ 5 *  /   - - ----- |       /       ___      /       ___ 
     1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
z3 = - + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| +   /   - - ----- *  /   - + ----- 
     4     \         4                  4                     4                        4           /   \/    8     8    \/    8     8   

$$z_{3} = \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)$$

           /       ___________        ___________              ___________              ___________\                                    
           |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                    
           |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |        ___________      ___________
           |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |       /       ___      /       ___ 
     1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
z4 = - + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------| -   /   - - ----- *  /   - + ----- 
     4     \         4                  4                     4                        4           /   \/    8     8    \/    8     8   

$$z_{4} = - \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)$$

                        ___________
           ___         /       ___ 
     1   \/ 5         /  5   \/ 5  
z5 = - + ----- + I*  /   - - ----- 
     4     4       \/    8     8   

$$z_{5} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Численный ответ

z1 = 0.809016994374947 - 0.587785252292473*i

z2 = 0.809016994374947 + 0.587785252292473*i

z3 = -1.0

z4 = -0.309016994374947 + 0.951056516295154*i

z5 = -0.309016994374947 - 0.951056516295154*i

График