z^5=-243 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^5=-243

Вы ввели

 5       
z  = -243

$$z^{5} = -243$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{5} = -243$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{-243}$$
или
$$z = 3 \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -3*1^1/5

Получим ответ: z = 3*(-1)^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{5} = -243$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -243$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -3$$
$$w_{2} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$w_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$w_{4} = \frac{3}{4} + 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$w_{5} = - 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{4} = \frac{3}{4} + 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$z_{5} = - 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$

Быстрый ответ

z1 = -3

$$z_{1} = -3$$

                     /         ___________                ___________\
                     |        /       ___                /       ___ |
                     |       /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |
             ___     |  3*  /   - - -----    3*\/ 5 *  /   - - ----- |
     3   3*\/ 5      |    \/    8     8              \/    8     8   |
z2 = - - ------- + I*|- ------------------ - ------------------------|
     4      4        \          2                       2            /

$$z_{2} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)$$

           /         ___________          ___________                ___________                ___________\                                      
           |        /       ___          /       ___                /       ___                /       ___ |                                      
           |       /  5   \/ 5          /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________
           |  3*  /   - - -----    3*  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - - ----- |         /       ___      /       ___ 
     3     |    \/    8     8        \/    8     8              \/    8     8              \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
z3 = - + I*|- ------------------ - ------------------ - ------------------------ + ------------------------| + 3*  /   - - ----- *  /   - + ----- 
     4     \          4                    4                       4                          4            /     \/    8     8    \/    8     8   

$$z_{3} = \frac{3}{4} + 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)$$

           /         ___________          ___________                ___________                ___________\                                      
           |        /       ___          /       ___                /       ___                /       ___ |                                      
           |       /  5   \/ 5          /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________
           |  3*  /   - - -----    3*  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - - -----    3*\/ 5 *  /   - + ----- |         /       ___      /       ___ 
     3     |    \/    8     8        \/    8     8              \/    8     8              \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
z4 = - + I*|- ------------------ + ------------------ + ------------------------ + ------------------------| - 3*  /   - - ----- *  /   - + ----- 
     4     \          4                    4                       4                          4            /     \/    8     8    \/    8     8   

$$z_{4} = - 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)$$

                            ___________
             ___           /       ___ 
     3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  
z5 = - + ------- + 3*I*  /   - - ----- 
     4      4          \/    8     8   

$$z_{5} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                     /         ___________                ___________\         /         ___________          ___________                ___________                ___________\                                               /         ___________          ___________                ___________                ___________\                                                                           
                     |        /       ___                /       ___ |         |        /       ___          /       ___                /       ___                /       ___ |                                               |        /       ___          /       ___                /       ___                /       ___ |                                                                           
                     |       /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |         |       /  5   \/ 5          /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________         |       /  5   \/ 5          /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________                          ___________
             ___     |  3*  /   - - -----    3*\/ 5 *  /   - - ----- |         |  3*  /   - - -----    3*  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - - ----- |         /       ___      /       ___          |  3*  /   - - -----    3*  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - - -----    3*\/ 5 *  /   - + ----- |         /       ___      /       ___            ___           /       ___ 
     3   3*\/ 5      |    \/    8     8              \/    8     8   |   3     |    \/    8     8        \/    8     8              \/    8     8              \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5     3     |    \/    8     8        \/    8     8              \/    8     8              \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5     3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  
-3 + - - ------- + I*|- ------------------ - ------------------------| + - + I*|- ------------------ - ------------------ - ------------------------ + ------------------------| + 3*  /   - - ----- *  /   - + -----  + - + I*|- ------------------ + ------------------ + ------------------------ + ------------------------| - 3*  /   - - ----- *  /   - + -----  + - + ------- + 3*I*  /   - - ----- 
     4      4        \          2                       2            /   4     \          4                    4                       4                          4            /     \/    8     8    \/    8     8      4     \          4                    4                       4                          4            /     \/    8     8    \/    8     8      4      4          \/    8     8   

$$\left(\left(\left(-3 + \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{3}{4} + 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)\right)\right) + \left(- 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)\right)\right) + \left(\frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

  /         ___________                ___________\     /         ___________          ___________                ___________                ___________\     /         ___________          ___________                ___________                ___________\                       
  |        /       ___                /       ___ |     |        /       ___          /       ___                /       ___                /       ___ |     |        /       ___          /       ___                /       ___                /       ___ |                       
  |       /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |     |       /  5   \/ 5          /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |     |       /  5   \/ 5          /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |            ___________
  |  3*  /   - - -----    3*\/ 5 *  /   - - ----- |     |  3*  /   - - -----    3*  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - - ----- |     |  3*  /   - - -----    3*  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - - -----    3*\/ 5 *  /   - + ----- |           /       ___ 
  |    \/    8     8              \/    8     8   |     |    \/    8     8        \/    8     8              \/    8     8              \/    8     8   |     |    \/    8     8        \/    8     8              \/    8     8              \/    8     8   |          /  5   \/ 5  
I*|- ------------------ - ------------------------| + I*|- ------------------ - ------------------ - ------------------------ + ------------------------| + I*|- ------------------ + ------------------ + ------------------------ + ------------------------| + 3*I*  /   - - ----- 
  \          2                       2            /     \          4                    4                       4                          4            /     \          4                    4                       4                          4            /       \/    8     8   

$$i \left(- \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right) + i \left(- \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right) + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} + i \left(- \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)$$

произведение

   /                /         ___________                ___________\\ /      /         ___________          ___________                ___________                ___________\                                      \ /      /         ___________          ___________                ___________                ___________\                                      \                                     
   |                |        /       ___                /       ___ || |      |        /       ___          /       ___                /       ___                /       ___ |                                      | |      |        /       ___          /       ___                /       ___                /       ___ |                                      |                                     
   |                |       /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  || |      |       /  5   \/ 5          /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________| |      |       /  5   \/ 5          /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5         ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________| /                       ___________\
   |        ___     |  3*  /   - - -----    3*\/ 5 *  /   - - ----- || |      |  3*  /   - - -----    3*  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - - ----- |         /       ___      /       ___ | |      |  3*  /   - - -----    3*  /   - + -----    3*\/ 5 *  /   - - -----    3*\/ 5 *  /   - + ----- |         /       ___      /       ___ | |        ___           /       ___ |
   |3   3*\/ 5      |    \/    8     8              \/    8     8   || |3     |    \/    8     8        \/    8     8              \/    8     8              \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  | |3     |    \/    8     8        \/    8     8              \/    8     8              \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  | |3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  |
-3*|- - ------- + I*|- ------------------ - ------------------------||*|- + I*|- ------------------ - ------------------ - ------------------------ + ------------------------| + 3*  /   - - ----- *  /   - + ----- |*|- + I*|- ------------------ + ------------------ + ------------------------ + ------------------------| - 3*  /   - - ----- *  /   - + ----- |*|- + ------- + 3*I*  /   - - ----- |
   \4      4        \          2                       2            // \4     \          4                    4                       4                          4            /     \/    8     8    \/    8     8   / \4     \          4                    4                       4                          4            /     \/    8     8    \/    8     8   / \4      4          \/    8     8   /

$$\left(\frac{3}{4} + 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)\right) \left(- 3 \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)\right)\right) \left(- 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)\right) \left(\frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

    /               _______________\ /                  ____________                 \ /                /   ______________      _______________      _______________      ______________\\ /                /   _______________      ______________      ______________      _______________\\
    |      ___     /           ___ | |         ___     /        ___  /  ___     ____\| |        ___     |  /          ___      /           ___      /           ___      /          ___ || |        ___     |  /           ___      /          ___      /          ___      /           ___ ||
243*\1 + \/ 5  + \/  -10 + 2*\/ 5  /*\-2 + 2*\/ 5  + \/  -5 + \/ 5  *\\/ 2  + \/ 10 //*\4 - 4*\/ 5  + I*\\/  10 + 2*\/ 5   + \/  50 - 10*\/ 5   + \/  50 + 10*\/ 5   - \/  10 - 2*\/ 5  //*\4 + 4*\/ 5  + I*\\/  50 - 10*\/ 5   - \/  10 - 2*\/ 5   - \/  10 + 2*\/ 5   - \/  50 + 10*\/ 5  //
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                             8192                                                                                                                                             

$$\frac{243 \left(-2 + 2 \sqrt{5} + \sqrt{-5 + \sqrt{5}} \left(\sqrt{2} + \sqrt{10}\right)\right) \left(1 + \sqrt{5} + \sqrt{-10 + 2 \sqrt{5}}\right) \left(4 + 4 \sqrt{5} + i \left(- \sqrt{10 \sqrt{5} + 50} - \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{50 - 10 \sqrt{5}}\right)\right) \left(- 4 \sqrt{5} + 4 + i \left(- \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} + \sqrt{50 - 10 \sqrt{5}} + \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}\right)\right)}{8192}$$

Численный ответ

z1 = -0.927050983124842 - 2.85316954888546*i

z2 = -3.0

z3 = 2.42705098312484 + 1.76335575687742*i

z4 = -0.927050983124842 + 2.85316954888546*i

z5 = 2.42705098312484 - 1.76335575687742*i

График