z^5=-7*i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^5=-7*i

Вы ввели

 5       
z  = -7*I

$$z^{5} = - 7 i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{5} = - 7 i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{- 7 i}$$
или
$$z = \sqrt[5]{7} \sqrt[5]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 7^1/5-i^1/5

Получим ответ: z = 7^(1/5)*(-i)^(1/5)

Остальные 5 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{5} = - 7 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = - 7 i$$
где
$$r = \sqrt[5]{7}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} - \frac{\pi}{10}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt[5]{7} i$$
$$w_{2} = \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} i}{4} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} i}{4}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{4} + \sqrt[5]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{5} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \sqrt[5]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt[5]{7} i$$
$$z_{2} = \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} i}{4} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} i}{4}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{4} + \sqrt[5]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \sqrt[5]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{4}$$

Быстрый ответ

        5 ___
z1 = -I*\/ 7 

$$z_{1} = - \sqrt[5]{7} i$$

                                          ___________
       /5 ___     ___ 5 ___\             /       ___ 
       |\/ 7    \/ 5 *\/ 7 |   5 ___    /  5   \/ 5  
z2 = I*|----- - -----------| + \/ 7 *  /   - + ----- 
       \  4          4     /         \/    8     8   

$$z_{2} = \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7}}{4} + \frac{\sqrt[5]{7}}{4}\right)$$

                                          ___________                    ___________
                                         /       ___                    /       ___ 
                               5 ___    /  5   \/ 5       ___ 5 ___    /  5   \/ 5  
       /5 ___     ___ 5 ___\   \/ 7 *  /   - + -----    \/ 5 *\/ 7 *  /   - + ----- 
       |\/ 7    \/ 5 *\/ 7 |         \/    8     8                  \/    8     8   
z3 = I*|----- + -----------| - ---------------------- + ----------------------------
       \  4          4     /             2                           2              

$$z_{3} = - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(\frac{\sqrt[5]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7}}{4}\right)$$

                                                                      ___________              ___________                    ___________                    ___________
                                                                     /       ___              /       ___                    /       ___                    /       ___ 
       /                   ___________      ___________\   5 ___    /  5   \/ 5     5 ___    /  5   \/ 5       ___ 5 ___    /  5   \/ 5       ___ 5 ___    /  5   \/ 5  
       |5 ___             /       ___      /       ___ |   \/ 7 *  /   - - -----    \/ 7 *  /   - + -----    \/ 5 *\/ 7 *  /   - + -----    \/ 5 *\/ 7 *  /   - - ----- 
       |\/ 7    5 ___    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8                  \/    8     8                  \/    8     8   
z4 = I*|----- + \/ 7 *  /   - - ----- *  /   - + ----- | - ---------------------- - ---------------------- - ---------------------------- + ----------------------------
       \  4           \/    8     8    \/    8     8   /             4                        4                           4                              4              

$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + i \left(\frac{\sqrt[5]{7}}{4} + \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

                                                                      ___________              ___________                    ___________                    ___________
                                                                     /       ___              /       ___                    /       ___                    /       ___ 
       /                   ___________      ___________\   5 ___    /  5   \/ 5     5 ___    /  5   \/ 5       ___ 5 ___    /  5   \/ 5       ___ 5 ___    /  5   \/ 5  
       |5 ___             /       ___      /       ___ |   \/ 7 *  /   - + -----    \/ 7 *  /   - - -----    \/ 5 *\/ 7 *  /   - - -----    \/ 5 *\/ 7 *  /   - + ----- 
       |\/ 7    5 ___    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8                  \/    8     8                  \/    8     8   
z5 = I*|----- - \/ 7 *  /   - - ----- *  /   - + ----- | - ---------------------- + ---------------------- - ---------------------------- - ----------------------------
       \  4           \/    8     8    \/    8     8   /             4                        4                           4                              4              

$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{5} \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + i \left(- \sqrt[5]{7} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt[5]{7}}{4}\right)$$

Численный ответ

z1 = 0.867437700114315 + 1.19392556757244*i

z2 = -1.403543681908 - 0.456038986775162*i

z3 = 1.403543681908 - 0.456038986775162*i

z4 = -0.867437700114315 + 1.19392556757244*i

z5 = -1.47577316159455*i