z^6-4z^3+8=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^6-4z^3+8=0

Вы ввели

 6      3        
z  - 4*z  + 8 = 0

$$z^{6} - 4 z^{3} + 8 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$z^{6} - 4 z^{3} + 8 = 0$$
Сделаем замену
$$v = z^{3}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 4 v + 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 8$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (8) = -16

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 2 + 2 i$$
Упростить
$$v_{2} = 2 - 2 i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = z^{3}$$
то
$$z_{1} = \sqrt[3]{v_{1}}$$
$$z_{3} = \sqrt[3]{v_{2}}$$
тогда:
$$z_{1} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(2 + 2 i\right)^{\frac{1}{3}}}{1} = \sqrt[3]{2 + 2 i}$$
$$z_{3} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(2 - 2 i\right)^{\frac{1}{3}}}{1} = \sqrt[3]{2 - 2 i}$$

Быстрый ответ

z1 = -1 - I

$$z_{1} = -1 - i$$

z2 = -1 + I

$$z_{2} = -1 + i$$

                            ___________
           ___       ___   /       ___ 
     1   \/ 3    I*\/ 2 *\/  2 - \/ 3  
z3 = - + ----- - ----------------------
     2     2               2           

$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$$

                            ___________
           ___       ___   /       ___ 
     1   \/ 3    I*\/ 2 *\/  2 - \/ 3  
z4 = - + ----- + ----------------------
     2     2               2           

$$z_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$$

                       __________________
                      /                2 
           ___       /      /      ___\  
     1   \/ 3    I*\/   8 - \1 - \/ 3 /  
z5 = - - ----- - ------------------------
     2     2                2            

$$z_{5} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{8 - \left(1 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2}$$

                       __________________
                      /                2 
           ___       /      /      ___\  
     1   \/ 3    I*\/   8 - \1 - \/ 3 /  
z6 = - - ----- + ------------------------
     2     2                2            

$$z_{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{8 - \left(1 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                                                                                  __________________                     __________________
                                             ___________                          ___________                    /                2                     /                2 
                            ___       ___   /       ___          ___       ___   /       ___          ___       /      /      ___\           ___       /      /      ___\  
                      1   \/ 3    I*\/ 2 *\/  2 - \/ 3     1   \/ 3    I*\/ 2 *\/  2 - \/ 3     1   \/ 3    I*\/   8 - \1 - \/ 3 /     1   \/ 3    I*\/   8 - \1 - \/ 3 /  
0 + -1 - I + -1 + I + - + ----- - ---------------------- + - + ----- + ---------------------- + - - ----- - ------------------------ + - - ----- + ------------------------
                      2     2               2              2     2               2              2     2                2               2     2                2            

$$\left(\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{8 - \left(1 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2}\right) + \left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\right) - 2\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{8 - \left(1 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                                                                                              /                  __________________\ /                  __________________\
                    /                       ___________\ /                       ___________\ |                 /                2 | |                 /                2 |
                    |      ___       ___   /       ___ | |      ___       ___   /       ___ | |      ___       /      /      ___\  | |      ___       /      /      ___\  |
                    |1   \/ 3    I*\/ 2 *\/  2 - \/ 3  | |1   \/ 3    I*\/ 2 *\/  2 - \/ 3  | |1   \/ 3    I*\/   8 - \1 - \/ 3 /  | |1   \/ 3    I*\/   8 - \1 - \/ 3 /  |
1*(-1 - I)*(-1 + I)*|- + ----- - ----------------------|*|- + ----- + ----------------------|*|- - ----- - ------------------------|*|- - ----- + ------------------------|
                    \2     2               2           / \2     2               2           / \2     2                2            / \2     2                2            /

$$1 \left(-1 - i\right) \left(-1 + i\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{8 - \left(1 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{8 - \left(1 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2}\right)$$

=

8

$$8$$

Численный ответ

z1 = -0.366025403784439 + 1.36602540378444*i

z2 = -1.0 - 1.0*i

z3 = -1.0 + 1.0*i

z4 = 1.36602540378444 - 0.366025403784439*i

z5 = 1.36602540378444 + 0.366025403784439*i

z6 = -0.366025403784439 - 1.36602540378444*i

График