Решение уравнений/ Любые/ z^6=1+i

z^6=1+i (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^6=1+i

    Решение

    Вы ввели [src]
     6        
z  = 1 + I
    $$z^{6} = 1 + i$$
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{6} = 1 + i$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = 1 + i комплексное,
    зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

    Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{6} = 1 + i$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{6} e^{6 i p} = 1 + i$$
    где
    $$r = \sqrt[12]{2}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{6 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(1 + i\right)}{2}$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(1 + i\right)}{2}$$
    значит
    $$\cos{\left(6 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
    и
    $$\sin{\left(6 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{24}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = - \sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
    $$w_{2} = \sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
    $$w_{3} = - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    $$w_{4} = \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
    $$w_{5} = - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    $$w_{6} = - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = - \sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
    $$z_{2} = \sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
    $$z_{3} = - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    $$z_{4} = \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
    $$z_{5} = - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    $$z_{6} = - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
                      ___________                ___________
                 /       ___                /       ___ 
       12___    /  1   \/ 2       12___    /  1   \/ 2  
z1 = - \/ 2 *  /   - - -----  - I*\/ 2 *  /   - + ----- 
             \/    2     4              \/    2     4
    $$z_{1} = - \sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
                    ___________                ___________
               /       ___                /       ___ 
     12___    /  1   \/ 2       12___    /  1   \/ 2  
z2 = \/ 2 *  /   - - -----  + I*\/ 2 *  /   - + ----- 
           \/    2     4              \/    2     4
    $$z_{2} = \sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt[12]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
           /             ___________                    ___________\              ___________                    ___________
       |            /       ___                    /       ___ |             /       ___                    /       ___ 
       |  12___    /  1   \/ 2     12___   ___    /  1   \/ 2  |   12___    /  1   \/ 2     12___   ___    /  1   \/ 2  
       |  \/ 2 *  /   - + -----    \/ 2 *\/ 3 *  /   - - ----- |   \/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *\/ 3 *  /   - + ----- 
       |        \/    2     4                  \/    2     4   |         \/    2     4                  \/    2     4   
z3 = I*|- ---------------------- - ----------------------------| - ---------------------- + ----------------------------
       \            2                           2              /             2                           2
    $$z_{3} = - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}\right)$$
           /           ___________                    ___________\              ___________                    ___________
       |          /       ___                    /       ___ |             /       ___                    /       ___ 
       |12___    /  1   \/ 2     12___   ___    /  1   \/ 2  |   12___    /  1   \/ 2     12___   ___    /  1   \/ 2  
       |\/ 2 *  /   - + -----    \/ 2 *\/ 3 *  /   - - ----- |   \/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *\/ 3 *  /   - + ----- 
       |      \/    2     4                  \/    2     4   |         \/    2     4                  \/    2     4   
z4 = I*|---------------------- - ----------------------------| + ---------------------- + ----------------------------
       \          2                           2              /             2                           2
    $$z_{4} = \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}\right)$$
           /             ___________                    ___________\              ___________                    ___________
       |            /       ___                    /       ___ |             /       ___                    /       ___ 
       |  12___    /  1   \/ 2     12___   ___    /  1   \/ 2  |   12___    /  1   \/ 2     12___   ___    /  1   \/ 2  
       |  \/ 2 *  /   - + -----    \/ 2 *\/ 3 *  /   - - ----- |   \/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *\/ 3 *  /   - + ----- 
       |        \/    2     4                  \/    2     4   |         \/    2     4                  \/    2     4   
z5 = I*|- ---------------------- + ----------------------------| - ---------------------- - ----------------------------
       \            2                           2              /             2                           2
    $$z_{5} = - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}\right)$$
           /           ___________                    ___________\              ___________                    ___________
       |          /       ___                    /       ___ |             /       ___                    /       ___ 
       |12___    /  1   \/ 2     12___   ___    /  1   \/ 2  |   12___    /  1   \/ 2     12___   ___    /  1   \/ 2  
       |\/ 2 *  /   - + -----    \/ 2 *\/ 3 *  /   - - ----- |   \/ 2 *  /   - - -----    \/ 2 *\/ 3 *  /   - + ----- 
       |      \/    2     4                  \/    2     4   |         \/    2     4                  \/    2     4   
z6 = I*|---------------------- + ----------------------------| + ---------------------- - ----------------------------
       \          2                           2              /             2                           2
    $$z_{6} = - \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + i \left(\frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt[12]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}\right)$$
    Численный ответ [src]
    z1 = -1.05039924071772 - 0.138287683504392*i
    z2 = -0.644960267304166 + 0.840528584825235*i
    z3 = 0.644960267304166 - 0.840528584825235*i
    z4 = 1.05039924071772 + 0.138287683504392*i
    z5 = -0.405438973413554 - 0.978816268329627*i
    z6 = 0.405438973413554 + 0.978816268329627*i