z^3-√2+√6i=0 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: z^3-√2+√6i=0
Решение
Подробное решение
$$\left(z^{3} - \sqrt{2}\right) + \sqrt{6 i} = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt{6} \sqrt{i}}$$
или
$$z = \sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt{6} \sqrt{i}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
z = sqrt+2 - sqrt6sqrti)^1/3
Получим ответ: z = (sqrt(2) - sqrt(6)*sqrt(i))^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = \sqrt{2} - \sqrt{6} \sqrt{i}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \sqrt{2} - \sqrt{6} \sqrt{i}$$
где
$$r = \sqrt[6]{- \sqrt{6} + 2 - 3 \sqrt{2} \sqrt{i} i - 2 \sqrt{3} \sqrt{i} + \sqrt{6} i + 3 \sqrt{2} \sqrt{i}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6} \sqrt{i}}{\sqrt{- \sqrt{6} + 2 - 3 \sqrt{2} \sqrt{i} i - 2 \sqrt{3} \sqrt{i} + \sqrt{6} i + 3 \sqrt{2} \sqrt{i}}}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6} \sqrt{i}}{\sqrt{- \sqrt{6} + 2 - 3 \sqrt{2} \sqrt{i} i - 2 \sqrt{3} \sqrt{i} + \sqrt{6} i + 3 \sqrt{2} \sqrt{i}}}$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6}}}$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6}}}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)} - i \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + \frac{i \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} i \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} i \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + \frac{i \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)} - i \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + \frac{i \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} i \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} i \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + \frac{i \sqrt[6]{8 - 2 \sqrt{6}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \sqrt{2}} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2}$$
График
Быстрый ответ
[src]
/ / ___ \\ / / ___ \\
| | \/ 3 || | | \/ 3 ||
| atan|-------------|| | atan|-------------||
_____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||
6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|
z1 = \/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------| - I*\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------|
\3 3 / \3 3 / / / / ___ \\ / / ___ \\\ / / ___ \\ / / ___ \\
| | | \/ 3 || | | \/ 3 ||| | | \/ 3 || | | \/ 3 ||
| | atan|-------------|| | atan|-------------||| | atan|-------------|| | atan|-------------||
| _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||| _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||
|6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|| 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|
|\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------|| \/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------|
| \3 3 / \3 3 /| \3 3 / \3 3 /
z2 = I*|---------------------------------------------- + ----------------------------------------------------| - ---------------------------------------------- + ----------------------------------------------------
\ 2 2 / 2 2 / / / ___ \\ / / ___ \\\ / / ___ \\ / / ___ \\
| | | \/ 3 || | | \/ 3 ||| | | \/ 3 || | | \/ 3 ||
| | atan|-------------|| | atan|-------------||| | atan|-------------|| | atan|-------------||
| _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||| _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||
|6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|| 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|
|\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------|| \/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------|
| \3 3 / \3 3 /| \3 3 / \3 3 /
z3 = I*|---------------------------------------------- - ----------------------------------------------------| - ---------------------------------------------- - ----------------------------------------------------
\ 2 2 / 2 2
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
/ / / ___ \\ / / ___ \\\ / / ___ \\ / / ___ \\ / / / ___ \\ / / ___ \\\ / / ___ \\ / / ___ \\
| | | \/ 3 || | | \/ 3 ||| | | \/ 3 || | | \/ 3 || | | | \/ 3 || | | \/ 3 ||| | | \/ 3 || | | \/ 3 ||
/ / ___ \\ / / ___ \\ | | atan|-------------|| | atan|-------------||| | atan|-------------|| | atan|-------------|| | | atan|-------------|| | atan|-------------||| | atan|-------------|| | atan|-------------||
| | \/ 3 || | | \/ 3 || | _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||| _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___|| | _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||| _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||
| atan|-------------|| | atan|-------------|| |6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|| 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| |6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|| 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|
_____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___|| |\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------|| \/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------| |\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------|| \/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------|
6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| | \3 3 / \3 3 /| \3 3 / \3 3 / | \3 3 / \3 3 /| \3 3 / \3 3 /
\/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------| - I*\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------| + I*|---------------------------------------------- + ----------------------------------------------------| - ---------------------------------------------- + ---------------------------------------------------- + I*|---------------------------------------------- - ----------------------------------------------------| - ---------------------------------------------- - ----------------------------------------------------
\3 3 / \3 3 / \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 =
/ / / ___ \\ / / ___ \\\ / / / ___ \\ / / ___ \\\ | | | \/ 3 || | | \/ 3 ||| | | | \/ 3 || | | \/ 3 ||| | | atan|-------------|| | atan|-------------||| | | atan|-------------|| | atan|-------------||| / / ___ \\ | _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||| | _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||| | | \/ 3 || |6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|| |6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|| | atan|-------------|| |\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------|| |\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------|| _____________ | | ___ ___|| | \3 3 / \3 3 /| | \3 3 / \3 3 /| 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| I*|---------------------------------------------- + ----------------------------------------------------| + I*|---------------------------------------------- - ----------------------------------------------------| - I*\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------| \ 2 2 / \ 2 2 / \3 3 /
произведение
/ / / / ___ \\ / / ___ \\\ / / ___ \\ / / ___ \\\ / / / / ___ \\ / / ___ \\\ / / ___ \\ / / ___ \\\
| | | | \/ 3 || | | \/ 3 ||| | | \/ 3 || | | \/ 3 ||| | | | | \/ 3 || | | \/ 3 ||| | | \/ 3 || | | \/ 3 |||
/ / / ___ \\ / / ___ \\\ | | | atan|-------------|| | atan|-------------||| | atan|-------------|| | atan|-------------||| | | | atan|-------------|| | atan|-------------||| | atan|-------------|| | atan|-------------|||
| | | \/ 3 || | | \/ 3 ||| | | _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||| _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||| | | _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||| _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___|||
| | atan|-------------|| | atan|-------------||| | |6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|| 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|| | |6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|| 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| ___ 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /||
| _____________ | | ___ ___|| _____________ | | ___ ___||| | |\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------|| \/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------|| | |\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------|| \/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------| \/ 3 *\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------||
|6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /| 6 / ___ |pi \\/ 2 - \/ 3 /|| | | \3 3 / \3 3 /| \3 3 / \3 3 /| | | \3 3 / \3 3 /| \3 3 / \3 3 /|
|\/ 8 - 2*\/ 6 *cos|-- + -------------------| - I*\/ 8 - 2*\/ 6 *sin|-- + -------------------||*|I*|---------------------------------------------- + ----------------------------------------------------| - ---------------------------------------------- + ----------------------------------------------------|*|I*|---------------------------------------------- - ----------------------------------------------------| - ---------------------------------------------- - ----------------------------------------------------|
\ \3 3 / \3 3 // \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 /=
/ / / ___ \\ / / ___ \\ / / ___ \\ / / ___ \\ / / ___ \\ / / ___ \\\
| | | \/ 3 || | | \/ 3 || | | \/ 3 || | | \/ 3 || | | \/ 3 || | | \/ 3 |||
| | atan|-------------|| | atan|-------------|| | atan|-------------|| | atan|-------------|| | atan|-------------|| | atan|-------------|||
_____________ | | | ___ ___|| | | ___ ___|| | | ___ ___|| | | ___ ___|| | | ___ ___|| | | ___ ___|||
/ ___ | 3|pi \\/ 2 - \/ 3 /| 3|pi \\/ 2 - \/ 3 /| 2|pi \\/ 2 - \/ 3 /| |pi \\/ 2 - \/ 3 /| 2|pi \\/ 2 - \/ 3 /| |pi \\/ 2 - \/ 3 /||
\/ 8 - 2*\/ 6 *|cos |-- + -------------------| + I*sin |-- + -------------------| - 3*sin |-- + -------------------|*cos|-- + -------------------| - 3*I*cos |-- + -------------------|*sin|-- + -------------------||
\ \3 3 / \3 3 / \3 3 / \3 3 / \3 3 / \3 3 //
Теорема Виета
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{i}$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{i}$$
Численный ответ
[src]
z1 = -1.08038960309257 - 0.539460865191954*i
z2 = 1.00738161515005 - 0.665914409666774*i
z3 = 0.0730079879425195 + 1.20537527485873*i