z^3-7=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3-7=0

Вы ввели

 3        
z  - 7 = 0

$$z^{3} - 7 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} - 7 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{7}$$
или
$$z = \sqrt[3]{7}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 7^1/3

Получим ответ: z = 7^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 7$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 7$$
где
$$r = \sqrt[3]{7}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \sqrt[3]{7}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{7} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \sqrt[3]{7}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{7} i}{2}$$

Быстрый ответ

     3 ___
z1 = \/ 7 

$$z_{1} = \sqrt[3]{7}$$

       3 ___       ___ 3 ___
       \/ 7    I*\/ 3 *\/ 7 
z2 = - ----- - -------------
         2           2      

$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{7} i}{2}$$

       3 ___       ___ 3 ___
       \/ 7    I*\/ 3 *\/ 7 
z3 = - ----- + -------------
         2           2      

$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{7} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          3 ___       ___ 3 ___     3 ___       ___ 3 ___
3 ___     \/ 7    I*\/ 3 *\/ 7      \/ 7    I*\/ 3 *\/ 7 
\/ 7  + - ----- - ------------- + - ----- + -------------
            2           2             2           2      

$$\left(\sqrt[3]{7} + \left(- \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{7} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{7} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

      /  3 ___       ___ 3 ___\ /  3 ___       ___ 3 ___\
3 ___ |  \/ 7    I*\/ 3 *\/ 7 | |  \/ 7    I*\/ 3 *\/ 7 |
\/ 7 *|- ----- - -------------|*|- ----- + -------------|
      \    2           2      / \    2           2      /

$$\sqrt[3]{7} \left(- \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{7} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{7} i}{2}\right)$$

=

7

$$7$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -7$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -7$$

Численный ответ

z1 = -0.956465591386195 + 1.6566469999723*i

z2 = 1.91293118277239

z3 = -0.956465591386195 - 1.6566469999723*i

График