z^3-81=0 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: z^3-81=0
Решение
Подробное решение
Дано уравнениеz 3 − 81 = 0 z^{3} - 81 = 0 z 3 − 81 = 0 Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то ур-ние будет иметь один действительный корень. Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния: Получим:( 1 z + 0 ) 3 3 = 81 3 \sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{81} 3 ( 1 z + 0 ) 3 = 3 81 илиz = 3 ⋅ 3 3 z = 3 \cdot \sqrt[3]{3} z = 3 ⋅ 3 3 Раскрываем скобочки в правой части ур-нияz = 3*3^1/3 Получим ответ: z = 3*3^(1/3) Остальные 2 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену:w = z w = z w = z тогда ур-ние будет таким:w 3 = 81 w^{3} = 81 w 3 = 81 Любое комплексное число можно представить так:w = r e i p w = r e^{i p} w = r e i p подставляем в уравнениеr 3 e 3 i p = 81 r^{3} e^{3 i p} = 81 r 3 e 3 i p = 81 гдеr = 3 ⋅ 3 3 r = 3 \cdot \sqrt[3]{3} r = 3 ⋅ 3 3 - модуль комплексного числа Подставляем r:e 3 i p = 1 e^{3 i p} = 1 e 3 i p = 1 Используя формулу Эйлера, найдём корни для pi sin ( 3 p ) + cos ( 3 p ) = 1 i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1 i sin ( 3 p ) + cos ( 3 p ) = 1 значитcos ( 3 p ) = 1 \cos{\left(3 p \right)} = 1 cos ( 3 p ) = 1 иsin ( 3 p ) = 0 \sin{\left(3 p \right)} = 0 sin ( 3 p ) = 0 тогдаp = 2 π N 3 p = \frac{2 \pi N}{3} p = 3 2 π N где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для w Значит, решением будет для w:w 1 = 3 ⋅ 3 3 w_{1} = 3 \cdot \sqrt[3]{3} w 1 = 3 ⋅ 3 3 w 2 = − 3 ⋅ 3 3 2 − 3 ⋅ 3 5 6 i 2 w_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2} w 2 = − 2 3 ⋅ 3 3 − 2 3 ⋅ 3 6 5 i w 3 = − 3 ⋅ 3 3 2 + 3 ⋅ 3 5 6 i 2 w_{3} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2} w 3 = − 2 3 ⋅ 3 3 + 2 3 ⋅ 3 6 5 i делаем обратную заменуw = z w = z w = z z = w z = w z = w Тогда, окончательный ответ:z 1 = 3 ⋅ 3 3 z_{1} = 3 \cdot \sqrt[3]{3} z 1 = 3 ⋅ 3 3 z 2 = − 3 ⋅ 3 3 2 − 3 ⋅ 3 5 6 i 2 z_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2} z 2 = − 2 3 ⋅ 3 3 − 2 3 ⋅ 3 6 5 i z 3 = − 3 ⋅ 3 3 2 + 3 ⋅ 3 5 6 i 2 z_{3} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2} z 3 = − 2 3 ⋅ 3 3 + 2 3 ⋅ 3 6 5 i
График
-7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0 -5000 5000
z 1 = 3 ⋅ 3 3 z_{1} = 3 \cdot \sqrt[3]{3} z 1 = 3 ⋅ 3 3 3 ___ 5/6
3*\/ 3 3*I*3
z2 = - ------- - --------
2 2 z 2 = − 3 ⋅ 3 3 2 − 3 ⋅ 3 5 6 i 2 z_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2} z 2 = − 2 3 ⋅ 3 3 − 2 3 ⋅ 3 6 5 i 3 ___ 5/6
3*\/ 3 3*I*3
z3 = - ------- + --------
2 2 z 3 = − 3 ⋅ 3 3 2 + 3 ⋅ 3 5 6 i 2 z_{3} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2} z 3 = − 2 3 ⋅ 3 3 + 2 3 ⋅ 3 6 5 i
Сумма и произведение корней
[src] 3 ___ 5/6 3 ___ 5/6
3 ___ 3*\/ 3 3*I*3 3*\/ 3 3*I*3
0 + 3*\/ 3 + - ------- - -------- + - ------- + --------
2 2 2 2 ( ( 0 + 3 ⋅ 3 3 ) − ( 3 ⋅ 3 3 2 + 3 ⋅ 3 5 6 i 2 ) ) − ( 3 ⋅ 3 3 2 − 3 ⋅ 3 5 6 i 2 ) \left(\left(0 + 3 \cdot \sqrt[3]{3}\right) - \left(\frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) ( ( 0 + 3 ⋅ 3 3 ) − ( 2 3 ⋅ 3 3 + 2 3 ⋅ 3 6 5 i ) ) − ( 2 3 ⋅ 3 3 − 2 3 ⋅ 3 6 5 i ) / 3 ___ 5/6\ / 3 ___ 5/6\
3 ___ | 3*\/ 3 3*I*3 | | 3*\/ 3 3*I*3 |
1*3*\/ 3 *|- ------- - --------|*|- ------- + --------|
\ 2 2 / \ 2 2 / 1 ⋅ 3 ⋅ 3 3 ( − 3 ⋅ 3 3 2 − 3 ⋅ 3 5 6 i 2 ) ( − 3 ⋅ 3 3 2 + 3 ⋅ 3 5 6 i 2 ) 1 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{3} \left(- \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(- \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) 1 ⋅ 3 ⋅ 3 3 ( − 2 3 ⋅ 3 3 − 2 3 ⋅ 3 6 5 i ) ( − 2 3 ⋅ 3 3 + 2 3 ⋅ 3 6 5 i )
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнениеp z 2 + q z + v + z 3 = 0 p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0 p z 2 + q z + v + z 3 = 0 гдеp = b a p = \frac{b}{a} p = a b p = 0 p = 0 p = 0 q = c a q = \frac{c}{a} q = a c q = 0 q = 0 q = 0 v = d a v = \frac{d}{a} v = a d v = − 81 v = -81 v = − 81 Формулы Виетаz 1 + z 2 + z 3 = − p z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p z 1 + z 2 + z 3 = − p z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = q z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = q z 1 z 2 z 3 = v z_{1} z_{2} z_{3} = v z 1 z 2 z 3 = v z 1 + z 2 + z 3 = 0 z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0 z 1 + z 2 + z 3 = 0 z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = 0 z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0 z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = 0 z 1 z 2 z 3 = − 81 z_{1} z_{2} z_{3} = -81 z 1 z 2 z 3 = − 81 z2 = -2.16337435546111 - 3.74707429945022*i z3 = -2.16337435546111 + 3.74707429945022*i