z^3=2 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3=2

Вы ввели

 3    
z  = 2

$$z^{3} = 2$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = 2$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{2}$$
или
$$z = \sqrt[3]{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 2^1/3

Получим ответ: z = 2^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 2$$
где
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \sqrt[3]{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

     3 ___
z1 = \/ 2 

$$z_{1} = \sqrt[3]{2}$$

       3 ___     3 ___   ___
       \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
z2 = - ----- - -------------
         2           2      

$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$

       3 ___     3 ___   ___
       \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
z3 = - ----- + -------------
         2           2      

$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$

Численный ответ

z1 = 1.25992104989487

z2 = -0.629960524947437 - 1.09112363597172*i

z3 = -0.629960524947437 + 1.09112363597172*i

График