z^3=-2*2i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3=-2*2i

Вы ввели

 3       
z  = -4*I

$$z^{3} = - 4 i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} = - 4 i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- 4 i}$$
или
$$z = 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 2^2/3-i^1/3

Получим ответ: z = 2^(2/3)*(-i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = - 4 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - 4 i$$
где
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Быстрый ответ

        2/3
z1 = I*2   

$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} i$$

          2/3    2/3   ___
       I*2      2   *\/ 3 
z2 = - ------ - ----------
         2          2     

$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

      2/3   ___      2/3
     2   *\/ 3    I*2   
z3 = ---------- - ------
         2          2   

$$z_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              2/3    2/3   ___    2/3   ___      2/3
   2/3     I*2      2   *\/ 3    2   *\/ 3    I*2   
I*2    + - ------ - ---------- + ---------- - ------
             2          2            2          2   

$$\left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + 2^{\frac{2}{3}} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /     2/3    2/3   ___\ / 2/3   ___      2/3\
   2/3 |  I*2      2   *\/ 3 | |2   *\/ 3    I*2   |
I*2   *|- ------ - ----------|*|---------- - ------|
       \    2          2     / \    2          2   /

$$2^{\frac{2}{3}} i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$

=

-4*I

$$- 4 i$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 4 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 4 i$$

Численный ответ

z1 = 1.3747296369986 - 0.7937005259841*i

z2 = -1.3747296369986 - 0.7937005259841*i

z3 = 1.5874010519682*i