z^3=64 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^3=64

    Решение

    Вы ввели [src]
     3     
    z  = 64
    z3=64z^{3} = 64
    Подробное решение
    Дано уравнение
    z3=64z^{3} = 64
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    z33=643\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{64}
    или
    z=4z = 4
    Получим ответ: z = 4

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    w=zw = z
    тогда ур-ние будет таким:
    w3=64w^{3} = 64
    Любое комплексное число можно представить так:
    w=reipw = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=64r^{3} e^{3 i p} = 64
    где
    r=4r = 4
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=1e^{3 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(3p)+cos(3p)=1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1
    значит
    cos(3p)=1\cos{\left(3 p \right)} = 1
    и
    sin(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN3p = \frac{2 \pi N}{3}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    w1=4w_{1} = 4
    w2=223iw_{2} = -2 - 2 \sqrt{3} i
    w3=2+23iw_{3} = -2 + 2 \sqrt{3} i
    делаем обратную замену
    w=zw = z
    z=wz = w

    Тогда, окончательный ответ:
    z1=4z_{1} = 4
    z2=223iz_{2} = -2 - 2 \sqrt{3} i
    z3=2+23iz_{3} = -2 + 2 \sqrt{3} i
    График
    -7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.017.520.0-50005000
    Быстрый ответ [src]
    z1 = 4
    z1=4z_{1} = 4
                    ___
    z2 = -2 - 2*I*\/ 3 
    z2=223iz_{2} = -2 - 2 \sqrt{3} i
                    ___
    z3 = -2 + 2*I*\/ 3 
    z3=2+23iz_{3} = -2 + 2 \sqrt{3} i
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                   ___              ___
    4 + -2 - 2*I*\/ 3  + -2 + 2*I*\/ 3 
    (4+(223i))+(2+23i)\left(4 + \left(-2 - 2 \sqrt{3} i\right)\right) + \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)
    =
    0
    00
    произведение
      /           ___\ /           ___\
    4*\-2 - 2*I*\/ 3 /*\-2 + 2*I*\/ 3 /
    4(223i)(2+23i)4 \left(-2 - 2 \sqrt{3} i\right) \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)
    =
    64
    6464
    Теорема Виета
    это приведённое кубическое уравнение
    pz2+qz+v+z3=0p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0
    где
    p=bap = \frac{b}{a}
    p=0p = 0
    q=caq = \frac{c}{a}
    q=0q = 0
    v=dav = \frac{d}{a}
    v=64v = -64
    Формулы Виета
    z1+z2+z3=pz_{1} + z_{2} + z_{3} = - p
    z1z2+z1z3+z2z3=qz_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q
    z1z2z3=vz_{1} z_{2} z_{3} = v
    z1+z2+z3=0z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0
    z1z2+z1z3+z2z3=0z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0
    z1z2z3=64z_{1} z_{2} z_{3} = -64
    Численный ответ [src]
    z1 = -2.0 - 3.46410161513775*i
    z2 = 4.0
    z3 = -2.0 + 3.46410161513775*i
    График
    z^3=64 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/a/b2/2b1e62d4613a966d667e220208b9c.png