z^5+32=0 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^5+32=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     5         
    z  + 32 = 0
    $$z^{5} + 32 = 0$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{5} + 32 = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{-32}$$
    или
    $$z = 2 \sqrt[5]{-1}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    z = -2*1^1/5

    Получим ответ: z = 2*(-1)^(1/5)

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{5} = -32$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{5} e^{5 i p} = -32$$
    где
    $$r = 2$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{5 i p} = -1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left (5 p \right )} + \cos{\left (5 p \right )} = -1$$
    значит
    $$\cos{\left (5 p \right )} = -1$$
    и
    $$\sin{\left (5 p \right )} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi}{5} N + \frac{\pi}{5}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = -2$$
    $$w_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$w_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$w_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$w_{5} = - 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = -2$$
    $$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$z_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$z_{5} = - 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    z1 = -2
    $$z_{1} = -2$$
                       /       ___________              ___________\
               ___     |      /       ___              /       ___ |
         1   \/ 5      |     /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |
    z2 = - - ----- + I*|-   /   - - -----  - \/ 5 *  /   - - ----- |
         2     2       \  \/    8     8            \/    8     8   /
    $$z_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + i \left(- \sqrt{5} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$
               /       ___________        ___________              ___________              ___________\                                      
               |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                      
               |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________
               |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |         /       ___      /       ___ 
         1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
    z3 = - + I*|- ---------------- - ---------------- + ---------------------- - ----------------------| + 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- 
         2     \         2                  2                     2                        2           /     \/    8     8    \/    8     8   
    $$z_{3} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$
               /     ___________        ___________              ___________              ___________\                                      
               |    /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                      
               |   /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________
               |  /   - + -----      /   - - -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |         /       ___      /       ___ 
         1     |\/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
    z4 = - + I*|---------------- - ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- 
         2     \       2                  2                     2                        2           /     \/    8     8    \/    8     8   
    $$z_{4} = - 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} + i \left(- \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$
                              ___________
               ___           /       ___ 
         1   \/ 5           /  5   \/ 5  
    z5 = - + ----- + 2*I*  /   - - ----- 
         2     2         \/    8     8   
    $$z_{5} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    Численный ответ [src]
    z1 = -0.61803398875 + 1.90211303259*i
    z2 = -0.61803398875 - 1.90211303259*i
    z3 = 1.61803398875 - 1.17557050458*i
    z4 = -2.00000000000000
    z5 = 1.61803398875 + 1.17557050458*i