- Решение пределов lim x→∞
- Производная функции f(x)'
- Решение интегралов ∫dx
- Решение уравнений x^2=1
- Система уравнений {x-2y=0}
- Построение графиков f(x)
- Решение неравенств x<1
- Комплексные числа ⅈ
- Ряды ∑
- Матрицы [⊹]
- Вектора
- Обычный и инженерный калькулятор
Как пользоваться?
- x+x+x=30
- x+2*y=18
- z^3-81=0
- x+x*5=96
- x+x*x=24
Идентичные выражения
- z^ пять + тридцать два = ноль
- z в степени 5 плюс 32 равно 0
- z в степени пять плюс тридцать два равно ноль
- z5+32=0
- z^5+32=O
Похожие выражения
- z^5-32=0
Топ
- 49*x-5*7*x+6=0
- x*y=2
- x^2+3*x-9=0
- 18/x=720
- 6*(2-n)-(3-n)=5-n
- 100+x-(100*x+x*x)/100=96
- 8*(x-55)=48
- tan(x)*cot(x)=1
- x^3+2*x^2-1=0
- 18-3*(1+x)=3
- 3*x-24=6*x+3
- 15-(x-4)=5
- k^3-3*k-2=0
- 3*x^2-7=0
- 8*x^2+5*x-3=0
- 2*x-19=8-x
- x+1/x=0
- y=(e^(y/x))+(y/x)
- 3*t^2=6-5*x
- 5*x^2-46*x+77=0
- 64+x=100
- (73-5*x)/2=19
- 10-2*(x-1)=22
- 2*a+3*b=4
- sin(x)=-1/2
- x+2-e^x=0
- x^2+4*x+(|x+1|)+3=0
- -x/3+x+7=3
- -5*y-19=6*y+47
- k^2-4*k=0
- 13*x/(2*x^2-7)=1
- 24/b=4
- cos(x)=-1
- -x^2*exp(-x)+2*x*exp(-x)=0
- x+1=0
- 2*sin(x)-1=0
- 4*(x+6)=x
- y+2*x=-1
- 3*y+14=77
- 4*x^2-12=0
- z1=3-2*j
- 4*(|x+1|)=12
- -3/9-4*m=40/200
- x/7=x-3/8
- (|x|)=x+1
- 6*x*(64-x^2)=0
- cos(pi*x/3)=-1/2
- 27*x-3=0
- y+30*5=450
- z^2+4*i*z+12=0
- 3*x^2-36*x+105=0
- 4*x^2-10*x-5=0
- 49^x-5*7^x+6=0
- sqrt(7-3*x)-1=x
- 3*(n-3)+22=28
- sin((pi*x)/4)=-1
- 4*x^2-15*x-25=0
- -9*x-26=-7*x-14
- 2*x+5*y=17
- -x^2-4*x+6=0
- -4*x-19=5*x+26
- sqrt(2*x+8)=x
- 12*x+14=12
- (x^4-256)/(16-x^2)=14*x+24
- sqrt(7*x)+2=3*x
- x^2+20*x-10=0
- x+(|x|)=0
- 9*c+28=-8
- 4*x*(x-3)*(7-x)=80
z^5+32=0 (уравнение)
Найду корень уравнения: z^5+32=0
Виды выражений
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{5} + 32 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{-32}$$
или
$$z = 2 \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
Получим ответ: z = 2*(-1)^(1/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{5} = -32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -32$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (5 p \right )} + \cos{\left (5 p \right )} = -1$$
значит
$$\cos{\left (5 p \right )} = -1$$
и
$$\sin{\left (5 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{5} N + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -2$$
$$w_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{5} = - 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z^{5} + 32 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{-32}$$
или
$$z = 2 \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
z = -2*1^1/5
Получим ответ: z = 2*(-1)^(1/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{5} = -32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -32$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (5 p \right )} + \cos{\left (5 p \right )} = -1$$
значит
$$\cos{\left (5 p \right )} = -1$$
и
$$\sin{\left (5 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{5} N + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -2$$
$$w_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{5} = - 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
График
Быстрый ответ
[src]
z1 = -2
$$z_{1} = -2$$
/ ___________ ___________\
___ | / ___ / ___ |
1 \/ 5 | / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 |
z2 = - - ----- + I*|- / - - ----- - \/ 5 * / - - ----- |
2 2 \ \/ 8 8 \/ 8 8 /
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + i \left(- \sqrt{5} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$
/ ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ / ___ / ___ |
| / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________
| / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___
1 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5
z3 = - + I*|- ---------------- - ---------------- + ---------------------- - ----------------------| + 2* / - - ----- * / - + -----
2 \ 2 2 2 2 / \/ 8 8 \/ 8 8
$$z_{3} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$
/ ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ / ___ / ___ |
| / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________
| / - + ----- / - - ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___
1 |\/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5
z4 = - + I*|---------------- - ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - 2* / - - ----- * / - + -----
2 \ 2 2 2 2 / \/ 8 8 \/ 8 8
$$z_{4} = - 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} + i \left(- \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$
___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
z5 = - + ----- + 2*I* / - - -----
2 2 \/ 8 8
$$z_{5} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
Численный ответ
[src]
z1 = -0.61803398875 + 1.90211303259*i
z2 = -0.61803398875 - 1.90211303259*i
z3 = 1.61803398875 - 1.17557050458*i
z4 = -2.00000000000000
z5 = 1.61803398875 + 1.17557050458*i