Решите уравнение (z+1)^6=1 ((z плюс 1) в степени 6 равно 1) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

(z+1)^6=1 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: (z+1)^6=1

    Решение

    Вы ввели [src]
           6    
    (z + 1)  = 1
    $$\left(z + 1\right)^{6} = 1$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$\left(z + 1\right)^{6} = 1$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[6]{\left(z + 1\right)^{6}} = \sqrt[6]{1}$$
    $$\sqrt[6]{\left(z + 1\right)^{6}} = \left(-1\right) \sqrt[6]{1}$$
    или
    $$z + 1 = 1$$
    $$z + 1 = -1$$
    Переносим свободные слагаемые (без z)
    из левой части в правую, получим:
    $$z = 0$$
    Получим ответ: z = 0
    Переносим свободные слагаемые (без z)
    из левой части в правую, получим:
    $$z = -2$$
    Получим ответ: z = -2
    или
    $$z_{1} = -2$$
    $$z_{2} = 0$$

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z + 1$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{6} = 1$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{6} e^{6 i p} = 1$$
    где
    $$r = 1$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{6 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{3}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = -1$$
    $$w_{2} = 1$$
    $$w_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    $$w_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    $$w_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    $$w_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$w = z + 1$$
    $$z = w - 1$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = -2$$
    $$z_{2} = 0$$
    $$z_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    $$z_{4} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    $$z_{5} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    $$z_{6} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    z1 = -2
    $$z_{1} = -2$$
    z2 = 0
    $$z_{2} = 0$$
                   ___
           3   I*\/ 3 
    z3 = - - - -------
           2      2   
    $$z_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
                   ___
           3   I*\/ 3 
    z4 = - - + -------
           2      2   
    $$z_{4} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
                   ___
           1   I*\/ 3 
    z5 = - - - -------
           2      2   
    $$z_{5} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
                   ___
           1   I*\/ 3 
    z6 = - - + -------
           2      2   
    $$z_{6} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                   ___             ___             ___             ___
           3   I*\/ 3      3   I*\/ 3      1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
    -2 + - - - ------- + - - + ------- + - - - ------- + - - + -------
           2      2        2      2        2      2        2      2   
    $$\left(\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(-2 + \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
    =
    -6
    $$-6$$
    произведение
         /          ___\ /          ___\ /          ___\ /          ___\
         |  3   I*\/ 3 | |  3   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
    -2*0*|- - - -------|*|- - + -------|*|- - - -------|*|- - + -------|
         \  2      2   / \  2      2   / \  2      2   / \  2      2   /
    $$- 0 \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    Численный ответ [src]
    z1 = -0.5 - 0.866025403784439*i
    z2 = 0.0
    z3 = -1.5 - 0.866025403784439*i
    z4 = -1.5 + 0.866025403784439*i
    z5 = -0.5 + 0.866025403784439*i
    z6 = -2.0
    График
    (z+1)^6=1 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/6/f5/f113f1d117e618c36ff3d8da6ac0d.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: