(z+1)^6=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: (z+1)^6=1

Вы ввели

       6    
(z + 1)  = 1

$$\left(z + 1\right)^{6} = 1$$

Упростить

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(z + 1\right)^{6} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(z + 1\right)^{6}} = \sqrt[6]{1}$$
$$\sqrt[6]{\left(z + 1\right)^{6}} = \left(-1\right) \sqrt[6]{1}$$
или
$$z + 1 = 1$$
$$z + 1 = -1$$
Переносим свободные слагаемые (без z)
из левой части в правую, получим:
$$z = 0$$
Получим ответ: z = 0
Переносим свободные слагаемые (без z)
из левой части в правую, получим:
$$z = -2$$
Получим ответ: z = -2
или
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 0$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z + 1$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{6} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = 1$$
$$w_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z + 1$$
$$z = w - 1$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 0$$
$$z_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

График

Построить график f1(x)

Построить график f2(x)

Быстрый ответ

z1 = -2

$$z_{1} = -2$$

z2 = 0

$$z_{2} = 0$$

               ___
       3   I*\/ 3 
z3 = - - - -------
       2      2   

$$z_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       3   I*\/ 3 
z4 = - - + -------
       2      2   

$$z_{4} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
z5 = - - - -------
       2      2   

$$z_{5} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
z6 = - - + -------
       2      2   

$$z_{6} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

               ___             ___             ___             ___
       3   I*\/ 3      3   I*\/ 3      1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
-2 + - - - ------- + - - + ------- + - - - ------- + - - + -------
       2      2        2      2        2      2        2      2   

$$\left(\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(-2 + \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-6

$$-6$$

произведение

     /          ___\ /          ___\ /          ___\ /          ___\
     |  3   I*\/ 3 | |  3   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
-2*0*|- - - -------|*|- - + -------|*|- - - -------|*|- - + -------|
     \  2      2   / \  2      2   / \  2      2   / \  2      2   /

$$- 0 \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

z1 = -0.5 - 0.866025403784439*i

z2 = 0.0

z3 = -1.5 - 0.866025403784439*i

z4 = -1.5 + 0.866025403784439*i

z5 = -0.5 + 0.866025403784439*i

z6 = -2.0

График