sqrt(x+4)-sqrt(x-1)=sqrt(x-2) (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: sqrt(x+4)-sqrt(x-1)=sqrt(x-2)
Решение
Подробное решение
Дано уравнениеx + 4 − x − 1 = x − 2 \sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 2} x + 4 − x − 1 = x − 2 Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень( − x − 1 + x + 4 ) 2 = x − 2 \left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4}\right)^{2} = x - 2 ( − x − 1 + x + 4 ) 2 = x − 2 или1 2 ⋅ ( 1 x + 4 ) + ( ( − 1 ) 2 ⋅ 1 ( 1 x − 1 ) ( 1 x + 4 ) + ( − 1 ) 2 ⋅ ( 1 x − 1 ) ) = x − 2 1^{2} \cdot \left(1 x + 4\right) + \left(\left(-1\right) 2 \cdot 1 \sqrt{\left(1 x - 1\right) \left(1 x + 4\right)} + \left(-1\right)^{2} \cdot \left(1 x - 1\right)\right) = x - 2 1 2 ⋅ ( 1 x + 4 ) + ( ( − 1 ) 2 ⋅ 1 ( 1 x − 1 ) ( 1 x + 4 ) + ( − 1 ) 2 ⋅ ( 1 x − 1 ) ) = x − 2 или2 x − 2 x 2 + 3 x − 4 + 3 = x − 2 2 x - 2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} + 3 = x - 2 2 x − 2 x 2 + 3 x − 4 + 3 = x − 2 преобразуем:− 2 x 2 + 3 x − 4 = − x − 5 - 2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} = - x - 5 − 2 x 2 + 3 x − 4 = − x − 5 Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень4 x 2 + 12 x − 16 = ( − x − 5 ) 2 4 x^{2} + 12 x - 16 = \left(- x - 5\right)^{2} 4 x 2 + 12 x − 16 = ( − x − 5 ) 2 4 x 2 + 12 x − 16 = x 2 + 10 x + 25 4 x^{2} + 12 x - 16 = x^{2} + 10 x + 25 4 x 2 + 12 x − 16 = x 2 + 10 x + 25 Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус3 x 2 + 2 x − 41 = 0 3 x^{2} + 2 x - 41 = 0 3 x 2 + 2 x − 41 = 0 Это уравнение видаa*x^2 + b*x + c = 0 Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Корни квадратного уравнения:x 1 = D − b 2 a x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a} x 1 = 2 a D − b x 2 = − D − b 2 a x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a} x 2 = 2 a − D − b где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант. Т.к.a = 3 a = 3 a = 3 b = 2 b = 2 b = 2 c = − 41 c = -41 c = − 41 , тоD = b^2 - 4 * a * c = (2)^2 - 4 * (3) * (-41) = 496 Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a) илиx 1 = − 1 3 + 2 31 3 x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3} x 1 = − 3 1 + 3 2 31 Упростить x 2 = − 2 31 3 − 1 3 x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3} x 2 = − 3 2 31 − 3 1 Упростить Т.к.x 2 + 3 x − 4 = x 2 + 5 2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2} x 2 + 3 x − 4 = 2 x + 2 5 иx 2 + 3 x − 4 ≥ 0 \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} \geq 0 x 2 + 3 x − 4 ≥ 0 тоx 2 + 5 2 ≥ 0 \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \geq 0 2 x + 2 5 ≥ 0 или− 5 ≤ x -5 \leq x − 5 ≤ x x < ∞ x < \infty x < ∞ x 1 = − 1 3 + 2 31 3 x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3} x 1 = − 3 1 + 3 2 31 x 2 = − 2 31 3 − 1 3 x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3} x 2 = − 3 2 31 − 3 1 проверяем:x 1 = − 1 3 + 2 31 3 x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3} x 1 = − 3 1 + 3 2 31 − x 1 − 2 − x 1 − 1 + x 1 + 4 = 0 - \sqrt{x_{1} - 2} - \sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{1} + 4} = 0 − x 1 − 2 − x 1 − 1 + x 1 + 4 = 0 =− ( − 1 ) 2 − ( 1 3 − 2 31 3 ) − ( − ( − 1 3 + 2 31 3 ) + 4 + ( − 1 ) 1 − ( 1 3 − 2 31 3 ) ) = 0 - \sqrt{\left(-1\right) 2 - \left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)} - \left(- \sqrt{\left(- \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right) + 4} + \sqrt{\left(-1\right) 1 - \left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)}\right) = 0 − ( − 1 ) 2 − ( 3 1 − 3 2 31 ) − − ( − 3 1 + 3 2 31 ) + 4 + ( − 1 ) 1 − ( 3 1 − 3 2 31 ) = 0 =0 = 0 - тождествоx 2 = − 2 31 3 − 1 3 x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3} x 2 = − 3 2 31 − 3 1 − x 2 − 2 − x 2 − 1 + x 2 + 4 = 0 - \sqrt{x_{2} - 2} - \sqrt{x_{2} - 1} + \sqrt{x_{2} + 4} = 0 − x 2 − 2 − x 2 − 1 + x 2 + 4 = 0 =− ( − 2 31 3 − 1 3 ) − 2 + ( − ( − 2 31 3 − 1 3 ) − 1 + ( − 2 31 3 − 1 3 ) + 4 ) = 0 - \sqrt{\left(- \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}\right) - 2} + \left(- \sqrt{\left(- \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}\right) - 1} + \sqrt{\left(- \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}\right) + 4}\right) = 0 − ( − 3 2 31 − 3 1 ) − 2 + − ( − 3 2 31 − 3 1 ) − 1 + ( − 3 2 31 − 3 1 ) + 4 = 0 =sqrt(11/3 - 2*sqrt(31)/3) - sqrt(-1/3 - 1 - 2*sqrt(31)/3) - sqrt(-1/3 - 2 - 2*sqrt(31)/3) = 0 - Нет Тогда, окончательный ответ:x 1 = − 1 3 + 2 31 3 x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3} x 1 = − 3 1 + 3 2 31 ____
1 2*\/ 31
x1 = - - + --------
3 3 x 1 = − 1 3 + 2 31 3 x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3} x 1 = − 3 1 + 3 2 31
Сумма и произведение корней
[src] ____
1 2*\/ 31
0 + - - + --------
3 3 0 − ( 1 3 − 2 31 3 ) 0 - \left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right) 0 − ( 3 1 − 3 2 31 ) ____
1 2*\/ 31
- - + --------
3 3 − 1 3 + 2 31 3 - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3} − 3 1 + 3 2 31 / ____\
| 1 2*\/ 31 |
1*|- - + --------|
\ 3 3 / 1 ( − 1 3 + 2 31 3 ) 1 \left(- \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right) 1 ( − 3 1 + 3 2 31 ) ____
1 2*\/ 31
- - + --------
3 3 − 1 3 + 2 31 3 - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3} − 3 1 + 3 2 31 x2 = 3.3785095752218 - 2.26188364895162e-13*i