sqrt(x+4)-sqrt(x-1)=sqrt(x-2) (уравнение)

Найду корень уравнения: sqrt(x+4)-sqrt(x-1)=sqrt(x-2)

Вы ввели

  _______     _______     _______
\/ x + 4  - \/ x - 1  = \/ x - 2 

$$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4} = \sqrt{x - 2}$$

Упростить

Подробное решение

Дано уравнение
$$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4} = \sqrt{x - 2}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4}\right)^{2} = x - 2$$
или
$$\left(-1\right)^{2} \left(x - 2\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(x - 2\right) \left(x + 4\right)} + 1^{2} \left(x + 4\right)\right) = x - 2$$
или
$$2 x - 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 8} + 2 = x - 2$$
преобразуем:
$$- 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 8} = - x - 4$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$4 x^{2} + 8 x - 32 = \left(- x - 4\right)^{2}$$
$$4 x^{2} + 8 x - 32 = x^{2} + 8 x + 16$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$3 x^{2} - 48 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 0$$
$$c = -48$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (3) * (-48) = 576

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 4$$
Упростить
$$x_{2} = -4$$
Упростить

Т.к.
$$\sqrt{x^{2} + 2 x - 8} = \frac{x}{2} + 2$$
и
$$\sqrt{x^{2} + 2 x - 8} \geq 0$$
то
$$\frac{x}{2} + 2 \geq 0$$
или
$$-4 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -4$$
проверяем:
$$x_{1} = 4$$
$$- \sqrt{x_{1} - 2} - \sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{1} + 4} = 0$$
=
$$- \sqrt{-2 + 4} + \left(- \sqrt{-1 + 4} + \sqrt{4 + 4}\right) = 0$$
=

sqrt(2) - sqrt(3) = 0

- Нет
$$x_{2} = -4$$
$$- \sqrt{x_{2} - 2} - \sqrt{x_{2} - 1} + \sqrt{x_{2} + 4} = 0$$
=
$$- \sqrt{-4 - 2} + \left(\sqrt{-4 + 4} - \sqrt{-4 - 1}\right) = 0$$
=

-i*sqrt(5) - i*sqrt(6) = 0

- Нет
Тогда, окончательный ответ:
Данное ур-ние не имеет решений

График

Построить график f1(x)

Построить график f2(x)

Быстрый ответ

               ____
       1   2*\/ 31 
x1 = - - + --------
       3      3    

$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ____
  1   2*\/ 31 
- - + --------
  3      3    

$$- \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$

=

          ____
  1   2*\/ 31 
- - + --------
  3      3    

$$- \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$

произведение

          ____
  1   2*\/ 31 
- - + --------
  3      3    

$$- \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$

=

          ____
  1   2*\/ 31 
- - + --------
  3      3    

$$- \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$

Численный ответ

x1 = 3.37850957522001

x2 = 3.3785095752218 - 2.26188364895162e-13*i

График