x^4+32*x=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4+32*x=0

Вы ввели

 4           
x  + 32*x = 0

$$x^{4} + 32 x = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} + 32 x = 0$$
Очевидно:

x0 = 0

далее,
преобразуем
$$x^{3} = -32$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-32}$$
или
$$x = 2 \sqrt[3]{-1} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2*1^1/3*2^2/3

Получим ответ: x = 2*(-1)^(1/3)*2^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -32$$
где
$$r = 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = 2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 2^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:

x0 = 0

$$x_{1} = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = 2^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

         2/3
x2 = -2*2   

$$x_{2} = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$

      2/3      2/3   ___
x3 = 2    - I*2   *\/ 3 

$$x_{3} = 2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$

      2/3      2/3   ___
x4 = 2    + I*2   *\/ 3 

$$x_{4} = 2^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

           2/3    2/3      2/3   ___    2/3      2/3   ___
0 + 0 - 2*2    + 2    - I*2   *\/ 3  + 2    + I*2   *\/ 3 

$$\left(\left(- 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + \left(0 + 0\right)\right) + \left(2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i\right)\right) + \left(2^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

        2/3 / 2/3      2/3   ___\ / 2/3      2/3   ___\
1*0*-2*2   *\2    - I*2   *\/ 3 /*\2    + I*2   *\/ 3 /

$$1 \cdot 0 \left(- 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}\right) \left(2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i\right) \left(2^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i\right)$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = 1.5874010519682 + 2.74945927399721*i

x2 = 0.0

x3 = 1.5874010519682 - 2.74945927399721*i

x4 = -3.1748021039364

График