z^2+(2i-3)z+5-i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^2+(2i-3)z+5-i=0

Вы ввели

 2                          
z  + (2*I - 3)*z + 5 - I = 0

$$z^{2} + z \left(\left(-1\right) 3 + 2 i\right) + 5 - i = 0$$

Подробное решение

Раскроем выражение в уравнении
$$\left(z^{2} + z \left(\left(-1\right) 3 + 2 i\right) + 5 - i\right) + 0 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$z^{2} - 3 z + 2 i z + 5 - i = 0$$
Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3 + 2 i$$
$$c = 5 - i$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3 + 2*i)^2 - 4 * (1) * (5 - i) = -20 + (-3 + 2*i)^2 + 4*i

Уравнение имеет два корня.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{-20 + \left(-3 + 2 i\right)^{2} + 4 i}}{2} - i$$
Упростить
$$z_{2} = \frac{3}{2} - i - \frac{\sqrt{-20 + \left(-3 + 2 i\right)^{2} + 4 i}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

z1 = 1 + I

$$z_{1} = 1 + i$$

z2 = 2 - 3*I

$$z_{2} = 2 - 3 i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + 1 + I + 2 - 3*I

$$\left(2 - 3 i\right) + \left(0 + \left(1 + i\right)\right)$$

=

3 - 2*I

$$3 - 2 i$$

произведение

1*(1 + I)*(2 - 3*I)

$$1 \cdot \left(1 + i\right) \left(2 - 3 i\right)$$

=

5 - I

$$5 - i$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p z + q + z^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -3 + 2 i$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 5 - i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = 3 - 2 i$$
$$z_{1} z_{2} = 5 - i$$

Численный ответ

z1 = 2.0 - 3.0*i

z2 = 1.0 + 1.0*i