|x+3|=|2*x^2+x-5| (уравнение)

Найду корень уравнения: |x+3|=|2*x^2+x-5|

Вы ввели

          |   2        |
|x + 3| = |2*x  + x - 5|

$$\left|{x + 3}\right| = \left|{2 x^{2} + x - 5}\right|$$

Подробное решение

Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$2 x^{2} + x - 5 \geq 0$$
$$x + 3 \geq 0$$
или
$$\left(-3 \leq x \wedge x \leq - \frac{\sqrt{41}}{4} - \frac{1}{4}\right) \vee \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
получаем ур-ние
$$\left(x + 3\right) - \left(2 x^{2} + x - 5\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$8 - 2 x^{2} = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

2.
$$2 x^{2} + x - 5 \geq 0$$
$$x + 3 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -3$$
получаем ур-ние
$$\left(- x - 3\right) - \left(2 x^{2} + x - 5\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x^{2} - 2 x + 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
но x3 не удовлетворяет неравенству
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
но x4 не удовлетворяет неравенству

3.
$$2 x^{2} + x - 5 < 0$$
$$x + 3 \geq 0$$
или
$$x < - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4} \wedge - \frac{\sqrt{41}}{4} - \frac{1}{4} < x$$
получаем ур-ние
$$\left(x + 3\right) - \left(- 2 x^{2} - x + 5\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x^{2} + 2 x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{5} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$

4.
$$2 x^{2} + x - 5 < 0$$
$$x + 3 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем


Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -2

$$x_{1} = -2$$

x2 = 2

$$x_{2} = 2$$

             ___
       1   \/ 5 
x3 = - - + -----
       2     2  

$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

             ___
       1   \/ 5 
x4 = - - - -----
       2     2  

$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    ___           ___
              1   \/ 5      1   \/ 5 
0 - 2 + 2 + - - + ----- + - - - -----
              2     2       2     2  

$$\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\left(\left(-2 + 0\right) + 2\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right)$$

=

-1

$$-1$$

произведение

       /        ___\ /        ___\
       |  1   \/ 5 | |  1   \/ 5 |
1*-2*2*|- - + -----|*|- - - -----|
       \  2     2  / \  2     2  /

$$1 \left(-2\right) 2 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right)$$

=

4

$$4$$

Численный ответ

x1 = -2.0

x2 = 2.0

x3 = 0.618033988749895

График