sqrt(x)=x^2 (уравнение)

Найду корень уравнения: sqrt(x)=x^2

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  ___    2
\/ x  = x 

$$\sqrt{x} = x^{2}$$

Подробное решение

[TeX]

Дано уравнение
$$\sqrt{x} = x^{2}$$
Очевидно:

x0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -3/2 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Возведём обе части ур-ния в(о) -2/3-ую степень:
Получим:

    1        1  
--------- = ----
      2/3    2/3
/ 1  \      1   
|----|          
| 3/2|          
\x   /          

или
$$x = 1$$
Получим ответ: x = 1

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{\frac{3}{2}}} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{1}{\left(r e^{i p}\right)^{\frac{3}{2}}} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- \frac{3 i}{2} p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left (\frac{3 p}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{3 p}{2} \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (\frac{3 p}{2} \right )} = 1$$
и
$$- \sin{\left (\frac{3 p}{2} \right )} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{4 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{2}$$
$$z_{3} = \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:

x0 = 0

$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{2}$$
$$x_{3} = \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{2}$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

x2 = 1

$$x_{2} = 1$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 0.0

x2 = 1.00000000000000