x^(3/2)=4 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке [, ]

    Найду корень уравнения: x^(3/2)=4

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     3/2    
    x    = 4
    $$x^{\frac{3}{2}} = 4$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано уравнение
    $$x^{\frac{3}{2}} = 4$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3/2 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2/3-ую степень:
    Получим:
    $$\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = 4^{\frac{2}{3}}$$
    или
    $$x = 2 \sqrt[3]{2}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 2*2^1/3

    Получим ответ: x = 2*2^(1/3)

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{\frac{3}{2}} = 4$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$\left(r e^{i p}\right)^{\frac{3}{2}} = 4$$
    где
    $$r = 2 \sqrt[3]{2}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{\frac{3 i}{2} p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left (\frac{3 p}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{3 p}{2} \right )} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left (\frac{3 p}{2} \right )} = 1$$
    и
    $$\sin{\left (\frac{3 p}{2} \right )} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{4 \pi}{3} N$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = 2 \sqrt[3]{2}$$
    $$z_{2} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt{3}\right)^{2}$$
    $$z_{3} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt{3}\right)^{2}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = 2 \sqrt[3]{2}$$
    $$x_{2} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt{3}\right)^{2}$$
    $$x_{3} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt{3}\right)^{2}$$
    График
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
           3 ___
    x1 = 2*\/ 2 
    $$x_{1} = 2 \sqrt[3]{2}$$
           3 ___     3 ___   ___
    x2 = - \/ 2  + I*\/ 2 *\/ 3 
    $$x_{2} = - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
           3 ___     3 ___   ___
    x3 = - \/ 2  - I*\/ 2 *\/ 3 
    $$x_{3} = - \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    x1 = 2.51984209978975
    x2 = -1.25992104989487 + 2.18224727194344*i
    x3 = -1.25992104989487 - 2.18224727194344*i