x^(3/2)=4 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^(3/2)=4

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

 3/2    
x    = 4

$$x^{\frac{3}{2}} = 4$$

Подробное решение

[TeX]

Дано уравнение
$$x^{\frac{3}{2}} = 4$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3/2 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Возведём обе части ур-ния в(о) 2/3-ую степень:
Получим:
$$\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = 4^{\frac{2}{3}}$$
или
$$x = 2 \sqrt[3]{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2*2^1/3

Получим ответ: x = 2*2^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{\frac{3}{2}} = 4$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\left(r e^{i p}\right)^{\frac{3}{2}} = 4$$
где
$$r = 2 \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{\frac{3 i}{2} p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (\frac{3 p}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{3 p}{2} \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (\frac{3 p}{2} \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (\frac{3 p}{2} \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{4 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2 \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt{3}\right)^{2}$$
$$z_{3} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt{3}\right)^{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2 \sqrt[3]{2}$$
$$x_{2} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt{3}\right)^{2}$$
$$x_{3} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt{3}\right)^{2}$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

       3 ___
x1 = 2*\/ 2 

$$x_{1} = 2 \sqrt[3]{2}$$

       3 ___     3 ___   ___
x2 = - \/ 2  + I*\/ 2 *\/ 3 

$$x_{2} = - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$

       3 ___     3 ___   ___
x3 = - \/ 2  - I*\/ 2 *\/ 3 

$$x_{3} = - \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 2.51984209978975

x2 = -1.25992104989487 + 2.18224727194344*i

x3 = -1.25992104989487 - 2.18224727194344*i