Дано уравнение $$x^{2} - \frac{1}{x} = 0$$ преобразуем $$x^{3} = 1$$ Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то ур-ние будет иметь один действительный корень. Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния: Получим: $$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{1}$$ или $$x = 1$$ Получим ответ: x = 1
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену: $$z = x$$ тогда ур-ние будет таким: $$z^{3} = 1$$ Любое комплексное число можно представить так: $$z = r e^{i p}$$ подставляем в уравнение $$r^{3} e^{3 i p} = 1$$ где $$r = 1$$ - модуль комплексного числа Подставляем r: $$e^{3 i p} = 1$$ Используя формулу Эйлера, найдём корни для p $$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$ значит $$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$ и $$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$ тогда $$p = \frac{2 \pi N}{3}$$ где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для z Значит, решением будет для z: $$z_{1} = 1$$ $$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$ $$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$ делаем обратную замену $$z = x$$ $$x = z$$