Подробное решение
Дано уравнение
$$75 = 3 x^{4}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{75}$$
$$\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{75}$$
или
$$\sqrt[4]{3} x = \sqrt[4]{3} \sqrt{5}$$
$$\sqrt[4]{3} x = - \sqrt[4]{3} \sqrt{5}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
x*3^1/4 = 3^(1/4)*sqrt(5)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
x*3^1/4 = 3^1/4sqrt5
Разделим обе части ур-ния на 3^(1/4)
x = 3^(1/4)*sqrt(5) / (3^(1/4))
Получим ответ: x = sqrt(5)
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
x*3^1/4 = -3^(1/4)*sqrt(5)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
x*3^1/4 = -3^1/4sqrt5
Разделим обе части ур-ния на 3^(1/4)
x = -3^(1/4)*sqrt(5) / (3^(1/4))
Получим ответ: x = -sqrt(5)
или
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 25$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 25$$
где
$$r = \sqrt{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt{5}$$
$$z_{2} = \sqrt{5}$$
$$z_{3} = - \sqrt{5} i$$
$$z_{4} = \sqrt{5} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
$$x_{3} = - \sqrt{5} i$$
$$x_{4} = \sqrt{5} i$$