75=3*x^4 (уравнение)

Найду корень уравнения: 75=3*x^4

Вы ввели

        4
75 = 3*x 

$$75 = 3 x^{4}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$75 = 3 x^{4}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{75}$$
$$\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{75}$$
или
$$\sqrt[4]{3} x = \sqrt[4]{3} \sqrt{5}$$
$$\sqrt[4]{3} x = - \sqrt[4]{3} \sqrt{5}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*3^1/4 = 3^(1/4)*sqrt(5)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*3^1/4 = 3^1/4sqrt5

Разделим обе части ур-ния на 3^(1/4)

x = 3^(1/4)*sqrt(5) / (3^(1/4))

Получим ответ: x = sqrt(5)
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*3^1/4 = -3^(1/4)*sqrt(5)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*3^1/4 = -3^1/4sqrt5

Разделим обе части ур-ния на 3^(1/4)

x = -3^(1/4)*sqrt(5) / (3^(1/4))

Получим ответ: x = -sqrt(5)
или
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 25$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 25$$
где
$$r = \sqrt{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt{5}$$
$$z_{2} = \sqrt{5}$$
$$z_{3} = - \sqrt{5} i$$
$$z_{4} = \sqrt{5} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
$$x_{3} = - \sqrt{5} i$$
$$x_{4} = \sqrt{5} i$$

Быстрый ответ

        ___
x1 = -\/ 5 

$$x_{1} = - \sqrt{5}$$

       ___
x2 = \/ 5 

$$x_{2} = \sqrt{5}$$

          ___
x3 = -I*\/ 5 

$$x_{3} = - \sqrt{5} i$$

         ___
x4 = I*\/ 5 

$$x_{4} = \sqrt{5} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

    ___     ___       ___       ___
- \/ 5  + \/ 5  - I*\/ 5  + I*\/ 5 

$$\left(\left(- \sqrt{5} + \sqrt{5}\right) - \sqrt{5} i\right) + \sqrt{5} i$$

=

0

$$0$$

произведение

   ___   ___ /     ___\     ___
-\/ 5 *\/ 5 *\-I*\/ 5 /*I*\/ 5 

$$\sqrt{5} i - \sqrt{5} \sqrt{5} \left(- \sqrt{5} i\right)$$

=

-25

$$-25$$

Численный ответ

x1 = -2.23606797749979

x2 = 2.23606797749979*i

x3 = -2.23606797749979*i

x4 = 2.23606797749979

График