Решите уравнение 75=3*x^4 (75 равно 3 умножить на х в степени 4) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

75=3*x^4 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: 75=3*x^4

    Решение

    Вы ввели [src]
            4
    75 = 3*x 
    $$75 = 3 x^{4}$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$75 = 3 x^{4}$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{75}$$
    $$\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{75}$$
    или
    $$\sqrt[4]{3} x = \sqrt[4]{3} \sqrt{5}$$
    $$\sqrt[4]{3} x = - \sqrt[4]{3} \sqrt{5}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    x*3^1/4 = 3^(1/4)*sqrt(5)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x*3^1/4 = 3^1/4sqrt5

    Разделим обе части ур-ния на 3^(1/4)
    x = 3^(1/4)*sqrt(5) / (3^(1/4))

    Получим ответ: x = sqrt(5)
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    x*3^1/4 = -3^(1/4)*sqrt(5)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x*3^1/4 = -3^1/4sqrt5

    Разделим обе части ур-ния на 3^(1/4)
    x = -3^(1/4)*sqrt(5) / (3^(1/4))

    Получим ответ: x = -sqrt(5)
    или
    $$x_{1} = - \sqrt{5}$$
    $$x_{2} = \sqrt{5}$$

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{4} = 25$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{4} e^{4 i p} = 25$$
    где
    $$r = \sqrt{5}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{4 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{2}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = - \sqrt{5}$$
    $$z_{2} = \sqrt{5}$$
    $$z_{3} = - \sqrt{5} i$$
    $$z_{4} = \sqrt{5} i$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = - \sqrt{5}$$
    $$x_{2} = \sqrt{5}$$
    $$x_{3} = - \sqrt{5} i$$
    $$x_{4} = \sqrt{5} i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
            ___
    x1 = -\/ 5 
    $$x_{1} = - \sqrt{5}$$
           ___
    x2 = \/ 5 
    $$x_{2} = \sqrt{5}$$
              ___
    x3 = -I*\/ 5 
    $$x_{3} = - \sqrt{5} i$$
             ___
    x4 = I*\/ 5 
    $$x_{4} = \sqrt{5} i$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
        ___     ___       ___       ___
    - \/ 5  + \/ 5  - I*\/ 5  + I*\/ 5 
    $$\left(\left(- \sqrt{5} + \sqrt{5}\right) - \sqrt{5} i\right) + \sqrt{5} i$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
       ___   ___ /     ___\     ___
    -\/ 5 *\/ 5 *\-I*\/ 5 /*I*\/ 5 
    $$\sqrt{5} i - \sqrt{5} \sqrt{5} \left(- \sqrt{5} i\right)$$
    =
    -25
    $$-25$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -2.23606797749979
    x2 = 2.23606797749979*i
    x3 = -2.23606797749979*i
    x4 = 2.23606797749979
    График
    75=3*x^4 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/4/63/a7981aa3bd60f53ca41589bb4490a.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: