75=3*x^4 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: 75=3*x^4

    Решение

    Вы ввели [src]
            4
    75 = 3*x 
    75=3x475 = 3 x^{4}
    Подробное решение
    Дано уравнение
    75=3x475 = 3 x^{4}
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    34x44=754\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{75}
    34x44=(1)754\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{75}
    или
    34x=345\sqrt[4]{3} x = \sqrt[4]{3} \sqrt{5}
    34x=345\sqrt[4]{3} x = - \sqrt[4]{3} \sqrt{5}
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    x*3^1/4 = 3^(1/4)*sqrt(5)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x*3^1/4 = 3^1/4sqrt5

    Разделим обе части ур-ния на 3^(1/4)
    x = 3^(1/4)*sqrt(5) / (3^(1/4))

    Получим ответ: x = sqrt(5)
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    x*3^1/4 = -3^(1/4)*sqrt(5)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x*3^1/4 = -3^1/4sqrt5

    Разделим обе части ур-ния на 3^(1/4)
    x = -3^(1/4)*sqrt(5) / (3^(1/4))

    Получим ответ: x = -sqrt(5)
    или
    x1=5x_{1} = - \sqrt{5}
    x2=5x_{2} = \sqrt{5}

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z4=25z^{4} = 25
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r4e4ip=25r^{4} e^{4 i p} = 25
    где
    r=5r = \sqrt{5}
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e4ip=1e^{4 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(4p)+cos(4p)=1i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1
    значит
    cos(4p)=1\cos{\left(4 p \right)} = 1
    и
    sin(4p)=0\sin{\left(4 p \right)} = 0
    тогда
    p=πN2p = \frac{\pi N}{2}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=5z_{1} = - \sqrt{5}
    z2=5z_{2} = \sqrt{5}
    z3=5iz_{3} = - \sqrt{5} i
    z4=5iz_{4} = \sqrt{5} i
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=5x_{1} = - \sqrt{5}
    x2=5x_{2} = \sqrt{5}
    x3=5ix_{3} = - \sqrt{5} i
    x4=5ix_{4} = \sqrt{5} i
    График
    05-15-10-510150100000
    Быстрый ответ [src]
            ___
    x1 = -\/ 5 
    x1=5x_{1} = - \sqrt{5}
           ___
    x2 = \/ 5 
    x2=5x_{2} = \sqrt{5}
              ___
    x3 = -I*\/ 5 
    x3=5ix_{3} = - \sqrt{5} i
             ___
    x4 = I*\/ 5 
    x4=5ix_{4} = \sqrt{5} i
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
        ___     ___       ___       ___
    - \/ 5  + \/ 5  - I*\/ 5  + I*\/ 5 
    ((5+5)5i)+5i\left(\left(- \sqrt{5} + \sqrt{5}\right) - \sqrt{5} i\right) + \sqrt{5} i
    =
    0
    00
    произведение
       ___   ___ /     ___\     ___
    -\/ 5 *\/ 5 *\-I*\/ 5 /*I*\/ 5 
    5i55(5i)\sqrt{5} i - \sqrt{5} \sqrt{5} \left(- \sqrt{5} i\right)
    =
    -25
    25-25
    Численный ответ [src]
    x1 = -2.23606797749979
    x2 = 2.23606797749979*i
    x3 = -2.23606797749979*i
    x4 = 2.23606797749979
    График
    75=3*x^4 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/4/63/a7981aa3bd60f53ca41589bb4490a.png