z^2-2(1+i)*z-1+2i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^2-2(1+i)*z-1+2i=0

Вы ввели

 2                            
z  - 2*(1 + I)*z - 1 + 2*I = 0

$$z^{2} - 2 z \left(1 + i\right) - 1 + 2 i = 0$$

Подробное решение

Раскроем выражение в уравнении
$$\left(z^{2} - 2 z \left(1 + i\right) - 1 + 2 i\right) + 0 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$z^{2} - 2 z - 2 i z - 1 + 2 i = 0$$
Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2 - 2 i$$
$$c = -1 + 2 i$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2 - 2*i)^2 - 4 * (1) * (-1 + 2*i) = 4 + (-2 - 2*i)^2 - 8*i

Уравнение имеет два корня.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = 1 + \frac{\sqrt{4 - 8 i + \left(-2 - 2 i\right)^{2}}}{2} + i$$
Упростить
$$z_{2} = 1 - \frac{\sqrt{4 - 8 i + \left(-2 - 2 i\right)^{2}}}{2} + i$$
Упростить

Быстрый ответ

z1 = I

$$z_{1} = i$$

z2 = 2 + I

$$z_{2} = 2 + i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + I + 2 + I

$$\left(0 + i\right) + \left(2 + i\right)$$

=

2 + 2*I

$$2 + 2 i$$

произведение

1*I*(2 + I)

$$1 i \left(2 + i\right)$$

=

I*(2 + I)

$$i \left(2 + i\right)$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p z + q + z^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -2 - 2 i$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -1 + 2 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = 2 + 2 i$$
$$z_{1} z_{2} = -1 + 2 i$$

Численный ответ

z1 = 1.0*i

z2 = 2.0 + 1.0*i