Решите уравнение x^3 + 2 = 0 (х в кубе плюс 2 равно 0) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

x^3 + 2 = 0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^3 + 2 = 0

    Решение

    Вы ввели [src]
     3        
    x  + 2 = 0
    $$x^{3} + 2 = 0$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$x^{3} + 2 = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
    или
    $$x = \sqrt[3]{-2}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -2^1/3

    Получим ответ: x = (-2)^(1/3)

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{3} = -2$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{3} e^{3 i p} = -2$$
    где
    $$r = \sqrt[3]{2}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{3 i p} = -1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
    значит
    $$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
    и
    $$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
    $$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    $$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
    $$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    $$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
          3 ___
    x1 = -\/ 2 
    $$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
         3 ___     3 ___   ___
         \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
    x2 = ----- - -------------
           2           2      
    $$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
         3 ___     3 ___   ___
         \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
    x3 = ----- + -------------
           2           2      
    $$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
    Численный ответ [src]
    x1 = 0.629960524947437 - 1.09112363597172*i
    x2 = 0.629960524947437 + 1.09112363597172*i
    x3 = -1.25992104989487
    График
    x^3 + 2 = 0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/2/4a/74373d953dbcdb0b65e7846b0f0ed.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: