cos(x)^(2)-3*sin(x)-3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos(x)^(2)-3*sin(x)-3=0

Вы ввели

   2                      
cos (x) - 3*sin(x) - 3 = 0

$$\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) - 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) - 3 = 0$$
преобразуем
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} - 2 = 0$$
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = -3$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (-1) * (-2) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = -2$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(-1 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      2  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$

           /    /        ___\\         /    /        ___\\
           |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||
x2 = - 2*re|atan|- - -------|| - 2*I*im|atan|- - -------||
           \    \2      2   //         \    \2      2   //

$$x_{2} = - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

           /    /        ___\\         /    /        ___\\
           |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||
x3 = - 2*re|atan|- + -------|| - 2*I*im|atan|- + -------||
           \    \2      2   //         \    \2      2   //

$$x_{3} = - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

             /    /        ___\\         /    /        ___\\         /    /        ___\\         /    /        ___\\
  pi         |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||
- -- + - 2*re|atan|- - -------|| - 2*I*im|atan|- - -------|| + - 2*re|atan|- + -------|| - 2*I*im|atan|- + -------||
  2          \    \2      2   //         \    \2      2   //         \    \2      2   //         \    \2      2   //

$$\left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) + \left(- \frac{\pi}{2} + \left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)\right)$$

=

      /    /        ___\\       /    /        ___\\              /    /        ___\\         /    /        ___\\
      |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||   pi         |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||
- 2*re|atan|- + -------|| - 2*re|atan|- - -------|| - -- - 2*I*im|atan|- + -------|| - 2*I*im|atan|- - -------||
      \    \2      2   //       \    \2      2   //   2          \    \2      2   //         \    \2      2   //

$$- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - \frac{\pi}{2} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

произведение

     /      /    /        ___\\         /    /        ___\\\ /      /    /        ___\\         /    /        ___\\\
-pi  |      |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||| |      |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 |||
----*|- 2*re|atan|- - -------|| - 2*I*im|atan|- - -------|||*|- 2*re|atan|- + -------|| - 2*I*im|atan|- + -------|||
 2   \      \    \2      2   //         \    \2      2   /// \      \    \2      2   //         \    \2      2   ///

$$- \frac{\pi}{2} \left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)$$

=

      /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\
      |    |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||| |    |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 |||
-2*pi*|I*im|atan|- + -------|| + re|atan|- + -------|||*|I*im|atan|- - -------|| + re|atan|- - -------|||
      \    \    \2      2   //     \    \2      2   /// \    \    \2      2   //     \    \2      2   ///

$$- 2 \pi \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)$$

Численный ответ

x1 = -1.57079643592753

x2 = 42.411499623981

x3 = 23.5619439476087

x4 = -1.57079750976718

x5 = -39.2699072001

x6 = 67.5442411124523

x7 = 80.1106131258933

x8 = -70.6858362056521

x9 = 86.3937991838764

x10 = 86.3937978846111

x11 = -14.1371668330045

x12 = 92.6769825965004

x13 = -51.8362800689455

x14 = -58.1194652755223

x15 = -83.252205621766

x16 = 98.9601681345111

x17 = -76.9690205215596

x18 = -64.4026486357035

x19 = -83.2522057303755

x20 = -7.85398033085861

x21 = -26.7035382845114

x22 = -32.9867233573558

x23 = -20.4203515415402

x24 = 29.8451290461986

x25 = -64.4026503817101

x26 = -58.1194639946029

x27 = -14.137165712426

x28 = 98.9601693621606

x29 = -26.7035370627234

x30 = -95.8185746379701

x31 = 10.9955738067263

x32 = 42.4115020234932

x33 = 80.1106139734736

x34 = 42.4115007243278

x35 = 92.6769842937343

x36 = 61.2610560462538

x37 = 67.5442423623837

x38 = 61.2610572659518

x39 = -89.5353894597802

x40 = 17.2787601015562

x41 = 36.128314235577

x42 = -20.420353217116

x43 = -20.4203519620403

x44 = 4.71238996464902

x45 = 10.9955750310968

x46 = 54.9778721966225

x47 = -1.57079513725467

x48 = 86.3937967594975

x49 = 73.8274285563163

x50 = -7.85398291706691

x51 = -7.85398149312115

x52 = 54.9778709706831

x53 = -26.7035371590356

x54 = -45.5530946416303

x55 = 80.1106113889501

x56 = -58.119462849228

x57 = 23.561945548455

x58 = -83.2522043649715

x59 = 73.8274262075815

x60 = 17.2787588808883

x61 = 4.71238870205705

x62 = 10.9955750804564

x63 = -51.8362786885144

x64 = 48.6946858637558

x65 = -102.101759987523

x66 = -45.5530935961809

x67 = 92.6769830253156

x68 = 48.6946855079919

x69 = -70.6858354499374

x70 = -95.81857722002

x71 = 73.8274274896162

x72 = -39.2699086556123

x73 = 4.71238842390387

x74 = -89.535390756454

x75 = -89.5353917714824

x76 = -64.4026491240557

x77 = 29.8451303283781

x78 = -14.1371681148419

x79 = -76.9690192998853

x80 = -45.5530922983511

x81 = 36.1283168216704

x82 = 23.5619452001052

x83 = 29.8451314227893

x84 = -95.8185758678957

x85 = 48.6946871292643

x86 = 67.5442426341214

x87 = -70.6858342268831

x88 = -39.269908459783

x89 = 36.1283157433771

x90 = -32.9867221344084

x91 = -51.836277484082

График