2cos²x — cos x — 1 = 0 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: 2cos²x — cos x — 1 = 0

    Решение

    Вы ввели [src]
         2                    
    2*cos (x) - cos(x) - 1 = 0
    $$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
    преобразуем
    $$- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
    $$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \cos{\left(x \right)}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 2$$
    $$b = -1$$
    $$c = -1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-1)^2 - 4 * (2) * (-1) = 9

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = 1$$
    $$w_{2} = - \frac{1}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$\cos{\left(x \right)} = w$$
    Дано уравнение
    $$\cos{\left(x \right)} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
    Или
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
    $$x_{1} = \pi n$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
    $$x_{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
    $$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
    $$x_{3} = \pi n - \pi$$
    $$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
    $$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
    $$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    x1 = 0
    $$x_{1} = 0$$
         2*pi
    x2 = ----
          3  
    $$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
         4*pi
    x3 = ----
          3  
    $$x_{3} = \frac{4 \pi}{3}$$
    x4 = 2*pi
    $$x_{4} = 2 \pi$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -69.11503909537
    x2 = 69.1150383780256
    x3 = -62.8318529623378
    x4 = 77.4926187885482
    x5 = 10.471975511966
    x6 = -6.28318514161788
    x7 = 25.13274122338
    x8 = 100.530964769014
    x9 = -18.8495558711096
    x10 = -73.3038285837618
    x11 = 62.8318528532238
    x12 = -81.6814090379303
    x13 = 69.1150383295746
    x14 = 81.6814091712551
    x15 = 79.5870138909414
    x16 = 50.2654824463501
    x17 = 48.1710873550435
    x18 = 98.4365698124802
    x19 = 87.9645943357073
    x20 = 75.3982239117447
    x21 = -69.1150385967809
    x22 = 14.6607657167524
    x23 = -46.0766922526503
    x24 = 52.3598775598299
    x25 = -52.3598775598299
    x26 = -4.18879020478639
    x27 = -33.5103216382911
    x28 = -18.8495555012277
    x29 = -83.7758040957278
    x30 = 25.1327411125589
    x31 = -79.5870138909414
    x32 = 18.8495557025416
    x33 = 56.5486676119735
    x34 = 54.4542726622231
    x35 = -62.8318537995483
    x36 = 33.5103216382911
    x37 = -31.4159267013407
    x38 = 12.5663700882745
    x39 = -96.342174710087
    x40 = -56.5486675394273
    x41 = 25.1327417460082
    x42 = -98.4365698124802
    x43 = -35.6047167406843
    x44 = 4.18879020478639
    x45 = 43.9822971694142
    x46 = -18.8495558410301
    x47 = -94.2477794556977
    x48 = -48.1710873550435
    x49 = 25.1327412731354
    x50 = 94.2477796093525
    x51 = -71.2094334813686
    x52 = 41.8879020478639
    x53 = 85.870199198121
    x54 = 35.6047167406843
    x55 = -75.3982238575994
    x56 = 31.4159267619367
    x57 = -8.37758040957278
    x58 = -54.4542726622231
    x59 = -92.1533845053006
    x60 = -37.6991118771132
    x61 = 6.28318528426584
    x62 = 2.0943951023932
    x63 = -77.4926187885482
    x64 = -90.0589894029074
    x65 = 69.1150384283402
    x66 = -29.3215314335047
    x67 = -39.7935069454707
    x68 = 92.1533845053006
    x69 = -50.2654822985064
    x70 = -87.9645943588266
    x71 = -12.5663703884691
    x72 = 83.7758040957278
    x73 = -100.530964690899
    x74 = -18.8495558006412
    x75 = -27.2271363311115
    x76 = -25.1327414474833
    x77 = 96.342174710087
    x78 = 8.37758040957278
    x79 = 16.7551608191456
    x80 = 39.7935069454707
    x81 = -10.471975511966
    x82 = 69.115037832119
    x83 = -62.8318529503654
    x84 = 37.6991120149696
    x85 = 58.6430628670095
    x86 = 0.0
    x87 = 90.0589894029074
    x88 = 43.9822969706241
    x89 = 60.7374579694027
    x90 = -41.8879020478639
    x91 = 46.0766922526503
    x92 = -85.870199198121
    x93 = 12.5663704551863
    x94 = -43.9822971745925
    x95 = -2.0943951023932
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: