Решите уравнение 4^cos(x)=2 (4 в степени косинус от (х) равно 2) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

4^cos(x)=2 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: 4^cos(x)=2

    Решение

    Вы ввели [src]
     cos(x)    
    4       = 2
    $$4^{\cos{\left(x \right)}} = 2$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$4^{\cos{\left(x \right)}} = 2$$
    преобразуем
    $$4^{\cos{\left(x \right)}} - 2 = 0$$
    $$4^{\cos{\left(x \right)}} - 2 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \cos{\left(x \right)}$$
    $$4^{w} - 2 = 0$$
    или
    $$4^{w} - 2 = 0$$
    или
    $$4^{w} = 2$$
    или
    $$4^{w} = 2$$
    - это простейшее показательное ур-ние
    Сделаем замену
    $$v = 4^{w}$$
    получим
    $$v - 2 = 0$$
    или
    $$v - 2 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без v)
    из левой части в правую, получим:
    $$v = 2$$
    Получим ответ: v = 2
    делаем обратную замену
    $$4^{w} = v$$
    или
    $$w = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
    Тогда, окончательный ответ
    $$w_{1} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(4 \right)}} = \frac{1}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$\cos{\left(x \right)} = w$$
    Дано уравнение
    $$\cos{\left(x \right)} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
    Или
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
    $$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
         pi
    x1 = --
         3 
    $$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
         5*pi
    x2 = ----
          3  
    $$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
             /    /1    pi*I \\              /    /1    pi*I \\
    x3 = - re|acos|- + ------|| + 2*pi - I*im|acos|- + ------||
             \    \2   log(2)//              \    \2   log(2)//
    $$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}$$
             /    /1    pi*I \\     /    /1    pi*I \\
    x4 = I*im|acos|- + ------|| + re|acos|- + ------||
             \    \2   log(2)//     \    \2   log(2)//
    $$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
    pi   5*pi       /    /1    pi*I \\              /    /1    pi*I \\       /    /1    pi*I \\     /    /1    pi*I \\
    -- + ---- + - re|acos|- + ------|| + 2*pi - I*im|acos|- + ------|| + I*im|acos|- + ------|| + re|acos|- + ------||
    3     3         \    \2   log(2)//              \    \2   log(2)//       \    \2   log(2)//     \    \2   log(2)//
    $$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}\right) + \left(\left(\frac{\pi}{3} + \frac{5 \pi}{3}\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}\right)\right)$$
    =
    4*pi
    $$4 \pi$$
    произведение
    pi 5*pi /    /    /1    pi*I \\              /    /1    pi*I \\\ /    /    /1    pi*I \\     /    /1    pi*I \\\
    --*----*|- re|acos|- + ------|| + 2*pi - I*im|acos|- + ------|||*|I*im|acos|- + ------|| + re|acos|- + ------|||
    3   3   \    \    \2   log(2)//              \    \2   log(2)/// \    \    \2   log(2)//     \    \2   log(2)///
    $$\frac{\pi}{3} \frac{5 \pi}{3} \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}\right)$$
    =
         2 /    /    /2*pi*I + log(2)\\     /    /2*pi*I + log(2)\\\ /            /    /2*pi*I + log(2)\\     /    /2*pi*I + log(2)\\\
    -5*pi *|I*im|acos|---------------|| + re|acos|---------------|||*|-2*pi + I*im|acos|---------------|| + re|acos|---------------|||
           \    \    \    2*log(2)   //     \    \    2*log(2)   /// \            \    \    2*log(2)   //     \    \    2*log(2)   ///
    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                    9                                                                 
    $$- \frac{5 \pi^{2} \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 2 i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 2 i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 2 i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 2 i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}\right)}{9}$$
    Численный ответ [src]
    x1 = 55.5014702134197
    x2 = -93.2005820564972
    x3 = 26.1799387799149
    x4 = 42.9350995990605
    x5 = -7.33038285837618
    x6 = -17.8023583703422
    x7 = 5.23598775598299
    x8 = 70.162235930172
    x9 = 11.5191730631626
    x10 = -49.2182849062401
    x11 = 74.3510261349584
    x12 = -76.4454212373516
    x13 = -19.8967534727354
    x14 = 89.0117918517108
    x15 = 32.4631240870945
    x16 = 132.994089001968
    x17 = -74.3510261349584
    x18 = 93.2005820564972
    x19 = -143.466064513934
    x20 = 86.9173967493176
    x21 = 76.4454212373516
    x22 = -82.7286065445312
    x23 = 36.6519142918809
    x24 = 82.7286065445312
    x25 = 38.7463093942741
    x26 = -42.9350995990605
    x27 = -24.0855436775217
    x28 = -36.6519142918809
    x29 = 30.3687289847013
    x30 = -68.0678408277789
    x31 = 24.0855436775217
    x32 = -99.4837673636768
    x33 = 61.7846555205993
    x34 = -45.0294947014537
    x35 = -57.5958653158129
    x36 = -63.8790506229925
    x37 = -26.1799387799149
    x38 = -95.2949771588904
    x39 = -86.9173967493176
    x40 = 99.4837673636768
    x41 = 45.0294947014537
    x42 = -13.6135681655558
    x43 = 63.8790506229925
    x44 = -32.4631240870945
    x45 = 68.0678408277789
    x46 = 13.6135681655558
    x47 = -101.57816246607
    x48 = 51.3126800086333
    x49 = -70.162235930172
    x50 = -89.0117918517108
    x51 = -5.23598775598299
    x52 = -114.144533080429
    x53 = 19.8967534727354
    x54 = -38.7463093942741
    x55 = -1.0471975511966
    x56 = 1.0471975511966
    x57 = -51.3126800086333
    x58 = -80.634211442138
    x59 = 7.33038285837618
    x60 = 49.2182849062401
    x61 = 271.224165759919
    x62 = -61.7846555205993
    x63 = -55.5014702134197
    x64 = -30.3687289847013
    x65 = -11.5191730631626
    x66 = 80.634211442138
    x67 = 17.8023583703422
    x68 = 95.2949771588904
    x69 = 57.5958653158129
    График
    4^cos(x)=2 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/b/6f/b017d614ebfb4e98dce72d5e26352.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: