3*x^2 + 5/(2*sqrt(x)) = 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3*x^2 + 5/(2*sqrt(x)) = 0

Вы ввели

   2      5       
3*x  + ------- = 0
           ___    
       2*\/ x     

$$3 x^{2} + \frac{5}{2 \sqrt{x}} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$3 x^{2} + \frac{5}{2 \sqrt{x}} = 0$$
преобразуем
$$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} = - \frac{6}{5}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -5/2 и свободный член = -6/5 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{\frac{5}{2}}} = - \frac{6}{5}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{1}{\left(r e^{i p}\right)^{\frac{5}{2}}} = - \frac{6}{5}$$
где
$$r = \frac{5^{\frac{2}{5}} \cdot 6^{\frac{3}{5}}}{6}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- \frac{5 i p}{2}} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(\frac{5 p}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{5 p}{2} \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(\frac{5 p}{2} \right)} = -1$$
и
$$- \sin{\left(\frac{5 p}{2} \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{4 \pi N}{5} - \frac{2 \pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \left(\frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{6}\right)^{2}$$
$$z_{2} = \left(- \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} - \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{12} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{12}\right)^{2}$$
$$z_{3} = \left(\frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{6} - \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24}\right)^{2}$$
$$z_{4} = \left(- \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{6} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24}\right)^{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \left(\frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{6}\right)^{2}$$
$$x_{2} = \left(- \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} - \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{12} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{12}\right)^{2}$$
$$x_{3} = \left(\frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{6} - \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24}\right)^{2}$$
$$x_{4} = \left(- \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{6} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24}\right)^{2}$$

Быстрый ответ

                                                                            ___________                          
                                            /      ___\                    /       ___  /5 ___  4/5    7/10  4/5\
                              2    2/5  3/5 |5   \/ 5 |     5 ___  4/5    /  5   \/ 5   |\/ 5 *6      5    *6   |
     /5 ___  4/5    7/10  4/5\    5   *6   *|- - -----|   I*\/ 5 *6   *  /   - - ----- *|---------- + ----------|
     |\/ 5 *6      5    *6   |              \8     8  /                \/    8     8    \    24           24    /
x1 = |---------- + ----------|  - --------------------- + -------------------------------------------------------
     \    24           24    /              6                                        3                           

$$x_{1} = - \frac{5^{\frac{2}{5}} \cdot 6^{\frac{3}{5}} \left(\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}\right)}{6} + \left(\frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24}\right)^{2} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(\frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24}\right)}{3}$$

                                                                                                 2                                                                                                
                                    /                  ___________                   ___________\                                    /                  ___________                   ___________\
                                    |                 /       ___                   /       ___ |                                    |                 /       ___                   /       ___ |
                                2   |  5 ___  4/5    /  5   \/ 5      7/10  4/5    /  5   \/ 5  |                                    |  5 ___  4/5    /  5   \/ 5      7/10  4/5    /  5   \/ 5  |
     /   7/10  4/5   5 ___  4/5\    |  \/ 5 *6   *  /   - - -----    5    *6   *  /   - - ----- |        /   7/10  4/5   5 ___  4/5\ |  \/ 5 *6   *  /   - - -----    5    *6   *  /   - - ----- |
     |  5    *6      \/ 5 *6   |    |             \/    8     8                 \/    8     8   |        |  5    *6      \/ 5 *6   | |             \/    8     8                 \/    8     8   |
x2 = |- ---------- + ----------|  - |- --------------------------- - ---------------------------|  + 2*I*|- ---------- + ----------|*|- --------------------------- - ---------------------------|
     \      24           24    /    \               12                            12            /        \      24           24    / \               12                            12            /

$$x_{2} = - \left(- \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{12} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{12}\right)^{2} + \left(- \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24}\right)^{2} + 2 i \left(- \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24}\right) \left(- \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{12} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{12}\right)$$

                                                                2                                                                                                                            2                                                                                                                                                                                            
     /                             ___________      ___________\    /                  ___________                   ___________                   ___________                   ___________\        /                             ___________      ___________\ /                  ___________                   ___________                   ___________                   ___________\
     |                            /       ___      /       ___ |    |                 /       ___                   /       ___                   /       ___                   /       ___ |        |                            /       ___      /       ___ | |                 /       ___                   /       ___                   /       ___                   /       ___ |
     |             5 ___  4/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |    |  5 ___  4/5    /  5   \/ 5     5 ___  4/5    /  5   \/ 5      7/10  4/5    /  5   \/ 5      7/10  4/5    /  5   \/ 5  |        |             5 ___  4/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  | |  5 ___  4/5    /  5   \/ 5     5 ___  4/5    /  5   \/ 5      7/10  4/5    /  5   \/ 5      7/10  4/5    /  5   \/ 5  |
     |5 ___  4/5   \/ 5 *6   *  /   - - ----- *  /   - + ----- |    |  \/ 5 *6   *  /   - - -----    \/ 5 *6   *  /   - + -----    5    *6   *  /   - + -----    5    *6   *  /   - - ----- |        |5 ___  4/5   \/ 5 *6   *  /   - - ----- *  /   - + ----- | |  \/ 5 *6   *  /   - - -----    \/ 5 *6   *  /   - + -----    5    *6   *  /   - + -----    5    *6   *  /   - - ----- |
     |\/ 5 *6                 \/    8     8    \/    8     8   |    |             \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   |        |\/ 5 *6                 \/    8     8    \/    8     8   | |             \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   |
x3 = |---------- + --------------------------------------------|  - |- --------------------------- - --------------------------- - --------------------------- + ---------------------------|  + 2*I*|---------- + --------------------------------------------|*|- --------------------------- - --------------------------- - --------------------------- + ---------------------------|
     \    24                            6                      /    \               24                            24                            24                            24            /        \    24                            6                      / \               24                            24                            24                            24            /

$$x_{3} = - \left(- \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24}\right)^{2} + \left(\frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{6}\right)^{2} + 2 i \left(\frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{6}\right) \left(- \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24} - \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24}\right)$$

                                                                2                                                                                                                            2                                                                                                                                                                                            
     /                             ___________      ___________\    /                  ___________                   ___________                   ___________                   ___________\        /                             ___________      ___________\ /                  ___________                   ___________                   ___________                   ___________\
     |                            /       ___      /       ___ |    |                 /       ___                   /       ___                   /       ___                   /       ___ |        |                            /       ___      /       ___ | |                 /       ___                   /       ___                   /       ___                   /       ___ |
     |             5 ___  4/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |    |  5 ___  4/5    /  5   \/ 5     5 ___  4/5    /  5   \/ 5      7/10  4/5    /  5   \/ 5      7/10  4/5    /  5   \/ 5  |        |             5 ___  4/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  | |  5 ___  4/5    /  5   \/ 5     5 ___  4/5    /  5   \/ 5      7/10  4/5    /  5   \/ 5      7/10  4/5    /  5   \/ 5  |
     |5 ___  4/5   \/ 5 *6   *  /   - - ----- *  /   - + ----- |    |  \/ 5 *6   *  /   - - -----    \/ 5 *6   *  /   - + -----    5    *6   *  /   - - -----    5    *6   *  /   - + ----- |        |5 ___  4/5   \/ 5 *6   *  /   - - ----- *  /   - + ----- | |  \/ 5 *6   *  /   - - -----    \/ 5 *6   *  /   - + -----    5    *6   *  /   - - -----    5    *6   *  /   - + ----- |
     |\/ 5 *6                 \/    8     8    \/    8     8   |    |             \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   |        |\/ 5 *6                 \/    8     8    \/    8     8   | |             \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   |
x4 = |---------- - --------------------------------------------|  - |- --------------------------- + --------------------------- + --------------------------- + ---------------------------|  + 2*I*|---------- - --------------------------------------------|*|- --------------------------- + --------------------------- + --------------------------- + ---------------------------|
     \    24                            6                      /    \               24                            24                            24                            24            /        \    24                            6                      / \               24                            24                            24                            24            /

$$x_{4} = - \left(- \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24}\right)^{2} + \left(- \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{6} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24}\right)^{2} + 2 i \left(- \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{6} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{24}\right) \left(- \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24} + \frac{\sqrt[5]{5} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{24} + \frac{5^{\frac{7}{10}} \cdot 6^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{24}\right)$$

Численный ответ

x1 = 0.287282959208151 - 0.884166034065896*i

x2 = 0.287282959208145 + 0.884166034065898*i

x3 = 0.287282959208113 - 0.884166034065919*i

x4 = 0.287282959208111 - 0.88416603406588*i

x5 = 0.287282959208145 - 0.884166034065898*i

График