$$- 3 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 7 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x_{5}$$

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y'':
$$7$$
Получим уравнение:
$$- \frac{3 y{\left(x \right)}}{7} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{7} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{x_{5}}{7}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = s,

где
$$p = \frac{1}{7}$$
$$q = - \frac{3}{7}$$
$$s = - \frac{x_{5}}{7}$$
Называется линейным неоднородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + \frac{k}{7} - \frac{3}{7} = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = - \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}$$
$$k_{2} = - \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)}$$

Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

y'' + p*y' + q*y = s

Используем метод вариации произвольной постоянной
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} + C_{2}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)}$$
где C1(x) и C2(x)
согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
где
y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
y1(x) = exp(x*(-1/14 + sqrt(85)/14)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-1/14 - sqrt(85)/14)) (C1=0, C2=1).
А свободный член f = - s, или
$$f{\left(x \right)} = \frac{x_{5}}{7}$$
Значит, система примет вид:
$$e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)} = \frac{x_{5}}{7}$$
или
$$e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right) e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right) e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = \frac{x_{5}}{7}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{85} x_{5} e^{\frac{x}{14}} e^{- \frac{\sqrt{85} x}{14}}}{85}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{85} x_{5} e^{\frac{x}{14}} e^{\frac{\sqrt{85} x}{14}}}{85}$$
- это простые дифф. ур-ния, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{85} x_{5} e^{\frac{x}{14}} e^{- \frac{\sqrt{85} x}{14}}}{85}\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{85} x_{5} e^{\frac{x}{14}} e^{\frac{\sqrt{85} x}{14}}}{85}\right)\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{14 \sqrt{85} x_{5} e^{\frac{x}{14}}}{85 \left(- e^{\frac{\sqrt{85} x}{14}} + \sqrt{85} e^{\frac{\sqrt{85} x}{14}}\right)}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{14 \sqrt{85} x_{5} e^{\frac{x}{14}} e^{\frac{\sqrt{85} x}{14}}}{85 \cdot \left(1 + \sqrt{85}\right)}$$
Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
$$y{\left(x \right)} = C_{1}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{85}}{14}\right)} + C_{2}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{\sqrt{85}}{14} - \frac{1}{14}\right)}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{x}{14}} e^{\frac{\sqrt{85} x}{14}} + C_{4} e^{- \frac{x}{14}} e^{- \frac{\sqrt{85} x}{14}} - \frac{14 \sqrt{85} x_{5}}{85 + 85 \sqrt{85}} - \frac{14 \sqrt{85} x_{5} e^{\frac{\sqrt{85} x}{14}}}{- 85 e^{\frac{\sqrt{85} x}{14}} + 85 \sqrt{85} e^{\frac{\sqrt{85} x}{14}}}$$
где C3 и C4 есть константы

$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{85}\right)}{14}} + C_{2} e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{85}\right)}{14}} - \frac{x_{5}}{3}$$