График функции y = Abs(log(x))

Вы ввели

f(x) = |log(x)|

$$f{\left(x \right)} = \left|{\log{\left(x \right)}}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\log{\left(x \right)}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(log(x)).
$$\left|{\log{\left(0 \right)}}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \infty$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x \log{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, pi)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(4 \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} \delta\left(x\right) \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{\left(\frac{2 x \delta\left(x\right)}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} - \frac{\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} - \frac{\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x \log{\left(x \right)}}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\log{\left(x \right)}}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\log{\left(x \right)}}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(log(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\log{\left(x \right)}}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\log{\left(x \right)}}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{\log{\left(x \right)}}\right| = \left|{\log{\left(- x \right)}}\right|$$
- Нет
$$\left|{\log{\left(x \right)}}\right| = - \left|{\log{\left(- x \right)}}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График