График функции y = Abs(|x|-4)+12

Вы ввели

f(x) = ||x| - 4| + 12

$$f{\left (x \right )} = \left|{\left|{x}\right| - 4}\right| + 12$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\left|{x}\right| - 4}\right| + 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(|x| - 4) + 12.
$$\left|{-4 + \left|{0}\right|}\right| + 12$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 16$$
Точка:

(0, 16)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\operatorname{sign}{\left (x \right )} \operatorname{sign}{\left (\left|{x}\right| - 4 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = -4$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 16)

(4, 12)

(-4, 12)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 4$$
$$x_{3} = -4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках

[-4, 0] U [4, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -4] U [0, 4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left|{\left|{x}\right| - 4}\right| + 12\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left|{\left|{x}\right| - 4}\right| + 12\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(|x| - 4) + 12, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left|{\left|{x}\right| - 4}\right| + 12\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left|{\left|{x}\right| - 4}\right| + 12\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{\left|{x}\right| - 4}\right| + 12 = \left|{\left|{x}\right| - 4}\right| + 12$$
- Да
$$\left|{\left|{x}\right| - 4}\right| + 12 = - \left|{\left|{x}\right| - 4}\right| - 12$$
- Нет
значит, функция
является
чётной