График функции y = 2-7*cos(asin((x-3)/7))

Вы ввели

                /    /x - 3\\
f(x) = 2 - 7*cos|asin|-----||
                \    \  7  //

$$f{\left (x \right )} = - 7 \cos{\left (\operatorname{asin}{\left (\frac{1}{7} \left(x - 3\right) \right )} \right )} + 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 7 \cos{\left (\operatorname{asin}{\left (\frac{1}{7} \left(x - 3\right) \right )} \right )} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3 + 3 \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{5} + 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -3.7082039325$$
$$x_{2} = 9.7082039325$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2 - 7*cos(asin((x - 3)/7)).
$$- 7 \cos{\left (\operatorname{asin}{\left (- \frac{3}{7} \right )} \right )} + 2$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - 2 \sqrt{10} + 2$$
Точка:

(0, 2 - 2*sqrt(10))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}}{\sqrt{- \frac{1}{49} \left(x - 3\right)^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(3, -5)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[3, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{- \frac{1}{49} \left(x - 3\right)^{2} + 1} + 49}{343 \sqrt{- \frac{1}{49} \left(x - 3\right)^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 7 \cos{\left (\operatorname{asin}{\left (\frac{1}{7} \left(x - 3\right) \right )} \right )} + 2\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 7 \cos{\left (\operatorname{asin}{\left (\frac{1}{7} \left(x - 3\right) \right )} \right )} + 2\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - \infty i$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2 - 7*cos(asin((x - 3)/7)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 7 \cos{\left (\operatorname{asin}{\left (\frac{1}{7} \left(x - 3\right) \right )} \right )} + 2\right)\right) = i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 7 \cos{\left (\operatorname{asin}{\left (\frac{1}{7} \left(x - 3\right) \right )} \right )} + 2\right)\right) = - i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - i x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 7 \cos{\left (\operatorname{asin}{\left (\frac{1}{7} \left(x - 3\right) \right )} \right )} + 2 = - 7 \sqrt{- \left(\frac{x}{7} + \frac{3}{7}\right)^{2} + 1} + 2$$
- Нет
$$- 7 \cos{\left (\operatorname{asin}{\left (\frac{1}{7} \left(x - 3\right) \right )} \right )} + 2 = - -1 \cdot 7 \sqrt{- \left(\frac{x}{7} + \frac{3}{7}\right)^{2} + 1} - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной