График функции y = 2+cos(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = 2 + cos(x)
f(x)=cos(x)+2f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} + 2
График функции
0-30000-25000-20000-15000-10000-500050001000015000200002500004
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos(x)+2=0\cos{\left (x \right )} + 2 = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2 + cos(x).
cos(0)+2\cos{\left (0 \right )} + 2
Результат:
f(0)=3f{\left (0 \right )} = 3
Точка:
(0, 3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
sin(x)=0- \sin{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Зн. экстремумы в точках:
(0, 3)

(pi, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=πx_{2} = \pi
Максимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [pi, oo)

Возрастает на промежутках
[0, pi]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
cos(x)=0- \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[pi/2, 3*pi/2]

Выпуклая на промежутках
(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(cos(x)+2)=1,3\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right) = \langle 1, 3\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1,3y = \langle 1, 3\rangle
limx(cos(x)+2)=1,3\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right) = \langle 1, 3\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1,3y = \langle 1, 3\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2 + cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(cos(x)+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1x(cos(x)+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cos(x)+2=cos(x)+2\cos{\left (x \right )} + 2 = \cos{\left (x \right )} + 2
- Да
cos(x)+2=cos(x)2\cos{\left (x \right )} + 2 = - \cos{\left (x \right )} - 2
- Нет
значит, функция
является
чётной