График функции y = 2*y+y^2

Вы ввели

              2
f(y) = 2*y + y 

$$f{\left (y \right )} = y^{2} + 2 y$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$y^{2} + 2 y = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
$$y_{1} = -2$$
$$y_{2} = 0$$
Численное решение
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в 2*y + y^2.
$$0 \cdot 2 + 0^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = $$
Первая производная
$$2 y + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$y_{1} = -1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-1, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = $$
Вторая производная
$$2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(y^{2} + 2 y\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty}\left(y^{2} + 2 y\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*y + y^2, делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y} \left(y^{2} + 2 y\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y} \left(y^{2} + 2 y\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$y^{2} + 2 y = y^{2} - 2 y$$
- Нет
$$y^{2} + 2 y = - y^{2} - - 2 y$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной