График функции y = (2*x-1)/3

Вы ввели

       2*x - 1
f(x) = -------
          3   

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{3} \left(2 x - 1\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{3} \left(2 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x - 1)/3.
$$\frac{1}{3} \left(-1 + 0 \cdot 2\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{3}$$
Точка:

(0, -1/3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{3} \left(2 x - 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{3} \left(2 x - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x - 1)/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 1}{3 x}\right) = \frac{2}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \frac{2 x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{3 x}\right) = \frac{2}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{2 x}{3}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{3} \left(2 x - 1\right) = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$$
- Нет
$$\frac{1}{3} \left(2 x - 1\right) = - \frac{1}{3} \left(-1 \cdot 2 x\right) + \frac{1}{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной