График функции y = 2*x^2-1

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          2    
f(x) = 2*x  - 1
f(x)=2x21f{\left (x \right )} = 2 x^{2} - 1
График функции
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.0-2020
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2x21=02 x^{2} - 1 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=22x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Численное решение
x1=0.707106781187x_{1} = 0.707106781187
x2=0.707106781187x_{2} = -0.707106781187
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^2 - 1.
1+202-1 + 2 \cdot 0^{2}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = -1
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
4x=04 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
4=04 = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(2x21)=\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{2} - 1\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(2x21)=\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} - 1\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^2 - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(2x21))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{2} - 1\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(2x21))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{2} - 1\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2x21=2x212 x^{2} - 1 = 2 x^{2} - 1
- Да
2x21=2x2+12 x^{2} - 1 = - 2 x^{2} + 1
- Нет
значит, функция
является
чётной