График функции y = e^x*cos(x)

Вы ввели

        x       
f(x) = E *cos(x)

$$f{\left (x \right )} = e^{x} \cos{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = -95.8185759345$$
$$x_{3} = -17.2787595947$$
$$x_{4} = -70.6858347058$$
$$x_{5} = -89.5353906273$$
$$x_{6} = 17.2787595947$$
$$x_{7} = -32.9867228627$$
$$x_{8} = -4.71238898038$$
$$x_{9} = -48.6946861306$$
$$x_{10} = -80.1106126665$$
$$x_{11} = -42.4115008235$$
$$x_{12} = -58.1194640914$$
$$x_{13} = 1.57079632679$$
$$x_{14} = -36.1283155163$$
$$x_{15} = -64.4026493986$$
$$x_{16} = -92.6769832809$$
$$x_{17} = -14.1371669412$$
$$x_{18} = 4.71238898038$$
$$x_{19} = 10.9955742876$$
$$x_{20} = 7.85398163397$$
$$x_{21} = 23.5619449019$$
$$x_{22} = -39.2699081699$$
$$x_{23} = -73.8274273594$$
$$x_{24} = 14.1371669412$$
$$x_{25} = -26.7035375555$$
$$x_{26} = -83.2522053201$$
$$x_{27} = -98.9601685881$$
$$x_{28} = -45.5530934771$$
$$x_{29} = -51.8362787842$$
$$x_{30} = -67.5442420522$$
$$x_{31} = -61.261056745$$
$$x_{32} = 26.7035375555$$
$$x_{33} = -86.3937979737$$
$$x_{34} = -20.4203522483$$
$$x_{35} = -7.85398163397$$
$$x_{36} = -76.9690200129$$
$$x_{37} = -10.9955742876$$
$$x_{38} = -1.57079632679$$
$$x_{39} = -23.5619449019$$
$$x_{40} = -105.243353895$$
$$x_{41} = 29.8451302091$$
$$x_{42} = 20.4203522483$$
$$x_{43} = -29.8451302091$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^x*cos(x).
$$e^{0} \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

                -3*pi  
                -----  
           ___    4    
 -3*pi  -\/ 2 *e       
(-----, --------------)
   4          2        

            pi 
            -- 
       ___  4  
 pi  \/ 2 *e   
(--, ---------)
 4       2     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках

[-3*pi/4, pi/4]

Возрастает на промежутках

(-oo, -3*pi/4] U [pi/4, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 2 e^{x} \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^x*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \cos{\left (x \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x} \cos{\left (x \right )} = e^{- x} \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
$$e^{x} \cos{\left (x \right )} = - e^{- x} \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной