График функции y = e^x*(x-5)

Вы ввели

        x        
f(x) = e *(x - 5)

$$f{\left(x \right)} = \left(x - 5\right) e^{x}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 5\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 5$$
Численное решение
$$x_{1} = -71.2033239479075$$
$$x_{2} = -53.336389337426$$
$$x_{3} = -85.1431441899768$$
$$x_{4} = -107.08303446753$$
$$x_{5} = -35.6553752443623$$
$$x_{6} = -69.2141900449367$$
$$x_{7} = -41.5083552648416$$
$$x_{8} = -47.4086841814429$$
$$x_{9} = -65.2382302560517$$
$$x_{10} = -75.1835505142898$$
$$x_{11} = -51.3581866464466$$
$$x_{12} = -95.1120495157731$$
$$x_{13} = -39.550618994199$$
$$x_{14} = -117.063734292694$$
$$x_{15} = -91.1235868161767$$
$$x_{16} = -73.1931311289629$$
$$x_{17} = -115.06730595755$$
$$x_{18} = -119.060291202492$$
$$x_{19} = -59.2814467335924$$
$$x_{20} = -93.1176822742156$$
$$x_{21} = -31.8006485741225$$
$$x_{22} = -33.7215440170094$$
$$x_{23} = -77.1745282419576$$
$$x_{24} = -55.316486753355$$
$$x_{25} = -61.2659399232894$$
$$x_{26} = -67.2257989645248$$
$$x_{27} = -105.087371742331$$
$$x_{28} = -99.1015273517858$$
$$x_{29} = -109.078868899778$$
$$x_{30} = -89.1297833837852$$
$$x_{31} = -103.091891597578$$
$$x_{32} = -45.4381699084522$$
$$x_{33} = -83.1503604017549$$
$$x_{34} = -121.056969852248$$
$$x_{35} = -87.1362942896831$$
$$x_{36} = -97.1066701336916$$
$$x_{37} = -63.2515753571383$$
$$x_{38} = -81.157973273941$$
$$x_{39} = 5$$
$$x_{40} = -43.4711655449634$$
$$x_{41} = -101.096605847552$$
$$x_{42} = -79.1660166222937$$
$$x_{43} = -111.074865014488$$
$$x_{44} = -37.5991101904548$$
$$x_{45} = -49.3821676071309$$
$$x_{46} = -57.2982393476586$$
$$x_{47} = -113.071013554438$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^x*(x - 1*5).
$$\left(\left(-1\right) 5 + 0\right) e^{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -5$$
Точка:

(0, -5)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(x - 5\right) e^{x} + e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

             4 
(4, (4 - 5)*e )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 4\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\left(x - 3\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[3, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 3\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 5\right) e^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 5\right) e^{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^x*(x - 1*5), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 5\right) e^{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 5\right) e^{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x - 5\right) e^{x} = \left(- x - 5\right) e^{- x}$$
- Нет
$$\left(x - 5\right) e^{x} = - \left(- x - 5\right) e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График