График функции y = cos(atan(x+1))

Вы ввели

f(x) = cos(atan(x + 1))

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(atan(x + 1)).
$$\cos{\left(\operatorname{atan}{\left(0 + 1 \right)} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Точка:

(0, sqrt(2)/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x + 1}{\left(\left(x + 1\right)^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{3 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} + 1} - 1}{\left(\left(x + 1\right)^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(atan(x + 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} \right)} = \frac{1}{\sqrt{\left(x - 1\right)^{2} + 1}}$$
- Нет
$$\cos{\left(\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} \right)} = - \frac{1}{\sqrt{\left(x - 1\right)^{2} + 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График