График функции y = cos(log(x^2))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /   / 2\\
f(x) = cos\log\x //
f(x)=cos(log(x2))f{\left (x \right )} = \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}
График функции
0-600000-500000-400000-300000-200000-1000001000002000003000004000005000006000002-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos(log(x2))=0\cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=eπ4x_{1} = - e^{\frac{\pi}{4}}
x2=eπ4x_{2} = e^{\frac{\pi}{4}}
x3=e3π4x_{3} = - e^{\frac{3 \pi}{4}}
x4=e3π4x_{4} = e^{\frac{3 \pi}{4}}
Численное решение
x1=5649.82470148x_{1} = 5649.82470148
x2=244.151062854x_{2} = 244.151062854
x3=2.19328005074x_{3} = 2.19328005074
x4=2.19328005074x_{4} = -2.19328005074
x5=27178.3539329x_{5} = -27178.3539329
x6=50.7540195117x_{6} = 50.7540195117
x7=5649.82470148x_{7} = -5649.82470148
x8=27178.3539329x_{8} = 27178.3539329
x9=244.151062854x_{9} = -244.151062854
x10=10.5507240742x_{10} = 10.5507240742
x11=1174.4831654x_{11} = 1174.4831654
x12=10.5507240742x_{12} = -10.5507240742
x13=50.7540195117x_{13} = -50.7540195117
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(log(x^2)).
cos(log(02))\cos{\left (\log{\left (0^{2} \right )} \right )}
Результат:
f(0)=cos(~)f{\left (0 \right )} = \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}
Точка:
(0, cos(±oo))
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2xsin(log(x2))=0- \frac{2}{x} \sin{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x3=eπ2x_{3} = - e^{\frac{\pi}{2}}
x4=eπ2x_{4} = e^{\frac{\pi}{2}}
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 1)

(1, 1)

   pi     
   --     
   2      
(-e , -1)

  pi     
  --     
  2      
(e , -1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x4=eπ2x_{4} = - e^{\frac{\pi}{2}}
x4=eπ2x_{4} = e^{\frac{\pi}{2}}
Максимумы функции в точках:
x4=1x_{4} = -1
x4=1x_{4} = 1
Убывает на промежутках
[-exp(pi/2), -1] U [exp(pi/2), oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -exp(pi/2)] U [1, exp(pi/2)]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x2(2sin(log(x2))4cos(log(x2)))=0\frac{1}{x^{2}} \left(2 \sin{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} - 4 \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1eatan(12+52)x_{1} = - \frac{1}{e^{\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}}}
x2=eatan(12+52)x_{2} = e^{- \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}}
x3=eatan(52+12)x_{3} = - e^{- \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right )}}
x4=eatan(52+12)x_{4} = e^{- \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right )}}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[exp(-atan(-sqrt(5)/2 + 1/2)), oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -exp(-atan(1/2 + sqrt(5)/2))] U [exp(-atan(1/2 + sqrt(5)/2)), exp(-atan(-sqrt(5)/2 + 1/2))]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxcos(log(x2))=1,1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1,1y = \langle -1, 1\rangle
limxcos(log(x2))=1,1\lim_{x \to \infty} \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1,1y = \langle -1, 1\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(log(x^2)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1xcos(log(x2)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1xcos(log(x2)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cos(log(x2))=cos(log(x2))\cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} = \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}
- Да
cos(log(x2))=cos(log(x2))\cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} = - \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}
- Нет
значит, функция
является
чётной