График функции y = cos(x)*3^x

Вы ввели

               x
f(x) = cos(x)*3 

$$f{\left(x \right)} = 3^{x} \cos{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3^{x} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -45.553093477052$$
$$x_{2} = -80.1106126665397$$
$$x_{3} = -86.3937979737193$$
$$x_{4} = 10.9955742875643$$
$$x_{5} = -32.9867228626928$$
$$x_{6} = -1.5707963267949$$
$$x_{7} = 23.5619449019235$$
$$x_{8} = 7.85398163397448$$
$$x_{9} = -14.1371669411541$$
$$x_{10} = -95.8185759344887$$
$$x_{11} = -17.2787595947439$$
$$x_{12} = 17.2787595947439$$
$$x_{13} = -61.261056745001$$
$$x_{14} = -54.9778714378214$$
$$x_{15} = -89.5353906273091$$
$$x_{16} = 20.4203522483337$$
$$x_{17} = -10.9955742875643$$
$$x_{18} = 26.7035375555132$$
$$x_{19} = 1.5707963267949$$
$$x_{20} = 29.845130209103$$
$$x_{21} = -51.8362787842316$$
$$x_{22} = -4.71238898038469$$
$$x_{23} = -108.384946548848$$
$$x_{24} = 4.71238898038469$$
$$x_{25} = -7.85398163397448$$
$$x_{26} = -73.8274273593601$$
$$x_{27} = -23.5619449019235$$
$$x_{28} = -48.6946861306418$$
$$x_{29} = -70.6858347057703$$
$$x_{30} = -26.7035375555132$$
$$x_{31} = -76.9690200129499$$
$$x_{32} = -92.6769832808989$$
$$x_{33} = 14.1371669411541$$
$$x_{34} = -64.4026493985908$$
$$x_{35} = -42.4115008234622$$
$$x_{36} = -98.9601685880785$$
$$x_{37} = -29.845130209103$$
$$x_{38} = -39.2699081698724$$
$$x_{39} = -20.4203522483337$$
$$x_{40} = -36.1283155162826$$
$$x_{41} = -58.1194640914112$$
$$x_{42} = -83.2522053201295$$
$$x_{43} = -67.5442420521806$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)*3^x.
$$3^{0} \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 3^{x} \sin{\left(x \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:

                                       /        _____________\                                    
                                       |       /        2    |                                    
       /        _____________\         |-1 + \/  1 + log (3) |    /      /        _____________\\ 
       |       /        2    |   2*atan|---------------------|    |      |       /        2    || 
       |-1 + \/  1 + log (3) |         \        log(3)       /    |      |-1 + \/  1 + log (3) || 
(2*atan|---------------------|, 3                             *cos|2*atan|---------------------||)
       \        log(3)       /                                    \      \        log(3)       // 

                                        /       _____________\                                   
                                        |      /        2    |                                   
        /       _____________\          |1 + \/  1 + log (3) |    /      /       _____________\\ 
        |      /        2    |   -2*atan|--------------------|    |      |      /        2    || 
        |1 + \/  1 + log (3) |          \       log(3)       /    |      |1 + \/  1 + log (3) || 
(-2*atan|--------------------|, 3                             *cos|2*atan|--------------------||)
        \       log(3)       /                                    \      \       log(3)       // 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3^{x} \left(- 2 \log{\left(3 \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(3 \right)}}{1 + \log{\left(3 \right)}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \log{\left(3 \right)}}{1 - \log{\left(3 \right)}} \right)}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \log{\left(3 \right)}}{1 - \log{\left(3 \right)}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(3 \right)}}{1 + \log{\left(3 \right)}} \right)}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \log{\left(3 \right)}}{1 - \log{\left(3 \right)}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(3 \right)}}{1 + \log{\left(3 \right)}} \right)}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)*3^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3^{x} \cos{\left(x \right)} = 3^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$3^{x} \cos{\left(x \right)} = - 3^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График